Теория вероятностей и математическая статистика. Вероятн комбин

В результате изучения раздела студент должен:

знать:

¾ основные понятия комбинаторики;

¾ классическое определение вероятности;

¾ определение случайной величины;

¾ математические характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсию;

уметь:

¾ решать задачи на нахождение вероятности события;

¾ решать задачи на нахождение математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Основные понятия комбинаторики

В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, …, 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например, 345, 534, 1036, 5671, 45 и т.п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (345 и 534), другие – входящими в них цифрами (1036, 5671), третьи различаются и числом цифр (345 и 45).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: размещения, перестановки и сочетания. Однако предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n – факториалом.

1. Размещения . Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Пример . Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них не повторяется?

Решение. Так как двузначные числа отличаются друг от друга или самими цифрами, или их порядком, то искомое количество равно числу размещений из пяти элементов по два:

Задание. Сколькими способами из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?

Ответ: 336.

2. Перестановки . Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Пример. Пусть даны три буквы А, В, С. Сколько можно составить комбинаций из этих букв?

Решение. Число перестановок из трех элементов можно вычислить по формуле: 3! = = 6.

Задание. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 7 местам?

Решение. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: 5040.

3. Сочетания . Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Пример .Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30 учащихся?

Решение. Так как из 30 учащихся нужно выбрать 3, то можно составить комбинации, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, т.е. сочетания из 30 по 3:

Ответ: 4060.

Задание. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ: 3003.

Вопросы для самоконтроля

1. Перечислите основные задачи комбинаторики.

2. Что называется перестановками?

3. Запишите формулу для перестановок из n элементов.

4. Что называется размещениями?

5. Запишите формулу числа размещений из n элементов по m.

6. Что называется сочетаниями?

7. Запишите формулу для числа сочетаний из n элементов по m.

Контрольное задание

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 1 Основные понятия комбинаторики 1 Приложение Определение Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Пример Вычислить 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Пример Вычислить! 7! 5! 5!! Пусть даны три буквы этих букв: 7 1! Перестановки 5 3 A, B, C Составим все возможные комбинации из ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (всего комбинаций) Мы видим, что они отличаются друг от друга только порядком расположения букв Определение Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками Перестановки обозначаются символом n, где n - число элементов, входящих в каждую перестановку 3 3! Число перестановок можно вычислить по формуле n или с помощью факториала: n n 1 n 3 1 n n! Так, число перестановок из трех элементов согласно формуле составляет, что совпадает с результатом рассмотренного выше примера 5 0 Пример Вычислить,! ! !- 5! 5! -1 5! 5! 1 5 0! ! 1! Пример Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

2 5! Пример В соревнованиях участвовало четыре команды Сколько вариантов распределения мест между ними возможно? 4! Размещения Пусть имеются четыре буквы A, B, C, D Составить все комбинации только из двух букв, получим: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Мы видим, что все полученные комбинации отличаются или буквами, или их порядком (комбинации BA и AB считаются различными) Определение Комбинации из m элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов, называется размещениями Размещения обозначаются n A m n число элементов в каждой комбинации, где m число всех имеющихся элементов, A n m m! (m n)! Пример Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд? 3 7! 7! A ! 4! 10 Пример Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 8, 9? 4 10! 10! A !! Пример Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписание на день могут быть включены только три из них? 3 8! 8! A ! 5! Пример Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов? 3 5! 5! A !!

3 Сочетания Определение Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n натуральные числа, причем n

4 Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении Для того чтобы записывать и исследовать эти закономерности, введем некоторые основные понятия и определения Определение Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием Например, многократное подбрасывание монеты, процесс изготовления какой-либо детали представляют собой испытания Определение Результат этого действия или наблюдения будем называть случайным событием Например, появление цифры при подбрасывании монеты является случайным событием, поскольку оно могло произойти или не произойти Определение Если нас интересует какое-либо определенное событие из всех возможных событий, то будем называть его искомым событием (или искомым исходом) Определение Все рассматриваемые события будем считать равновозможными, те такими, которые имеют равные возможности произойти Так, при бросании кости могут появиться 1-очко, 3, 4, 5 или очков и эти исходы испытания являются равновозможными Иными словами, равновозможность означает равноправность, симметрию отдельных исходов испытаний при соблюдении некоторых условий События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D Определение События называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти в данном опыте вместе В противном случае события называются совместными Так, при подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременное появление герба; это пример несовместных событий 4

5 Рассмотрим другой пример Пусть на мишени нарисованы круг, ромб и треугольник Произведен один выстрел Событие A попадание в круг, событие B попадание в ромб, событие C попадание в треугольник Тогда события A и B, A и C, C и B являются несовместными Определение Событие называется достоверным, если оно происходит в данном испытании обязательно Например, выигрыш по билету беспроигрышной лотереи есть событие достоверное Достоверные события обозначаются буквой U Определение Событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти Например, при бросании игральной кости невозможно получить 7 очков Невозможное событие обозначается буквой V Определение Полной системой событий A 1, A, A 3, A n называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании Так, выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти, шести очков при бросании игральной кости есть полная система событий, поскольку все эти события несовместны и наступление хотя бы одного из них обязательно Определение Если полная система состоит из двух событий, то такие события называются противоположными и обозначаются A и A Пример Имеется один билет лотереи «б из 45» Событие A состоит в том, что он выигрышный, а событие B в том, что он невыигрышный Являются ли эти события несовместными? Пример В коробке находится 30 пронумерованных шаров Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными: достали пронумерованный шар (; достали шар с четным номером (достали шар с нечетным номером (C); достали шар без номера (D) Какие из них образуют полную группу? Пример Являются ли достоверными или невозможными события, состоящие в том, что при однократном бросании кости выпадет: 5 очков; 7 очков; от 1 до очков? Какие события в этом испытании составляют полную группу? 5

6 Определение Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания Сумма событий A и B, обозначается (A+ и означает, что наступило событие A, или B, или A и B вместе Определение Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания Произведение событий A и B обозначают: AB 3 Определение вероятности события Случайные события реализуются с различной возможностью Одни происходят чаще, другие реже Для количественной оценки возможностей реализации события вводится понятие вероятности события Определение Вероятность события A это отношение числа M благоприятствующих исходов к общему числу N равновозможных исходов, образующих полную группу: Вероятность достоверного события равна 1, невозможного 0, случайного: 0 (1 Это классическое определение вероятности Относительная частота события A отношение числа m испытаний, в которых событие появилось к общему числу n испытаний: M N * (Пример Из слова «поликлиника» выбирается наугад одна буква Какова вероятность, что это гласная? Что это буква К? Что это гласная или буква К? Всего букв 11 Событие A в результате эксперимента появилась гласная буква Событие B появилась буква К Событию A благоприятствуют пять событий (5 гласных), событию B два m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Основные теоремы и формулы теории вероятности Теорема сложения вероятностей Вероятность появления одного из несовместных событий равна сумме их вероятностей:

7 A A A A A 1 n 1 A n Вероятность суммы двух совместных событий A A Сумма вероятностей противоположных событий (1 Определение Пусть A и B два случайных события одного и того же испытания Условной вероятностью события A или вероятностью события A A при условии, что наступило событие B, называется число Обозначение: A B A Теорема умножения вероятностей Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий A 7

Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

ТЕМА. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Операции над случайными событиями. Алгебра событий. Понятие совместности событий. Полная группа событий. Зависимость и независимость случайных событий. Условная

Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ МИСИС 2013 УТВЕРЖДАЮ: Д.Е. Капуткин Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования гор.

1 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГЛАВА 1. 1. Элементы комбинаторики Определение 1. Примеры: Определение. -факториал это число, обозначаемое!, при этом! = 1** * для всех натуральных чисел 1, ; кроме того,

1) Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, у которых только две цифры меньше пяти? Цифр, меньших 5, всего пять: { 0; 1; 2; 3; 4 } Остальные пять цифр не меньше 5: { ; ; ; ; } 1-й способ решения

Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Лекция Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Алгебра событий Суммой событий и называется событие S = +, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них Произведением событий и называется

Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 2 1. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ... 2 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 2 1.2. ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ... 4 1.3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Сумма и произведение события Суммой или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в появлении наступления хотя бы одного из этих

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Челябинская государственная академия культуры и искусства» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Аксиомы Колмогорова В 1933 г. А. Н. Колмогоров в книге «Основные понятия теории вероятностей» дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей. «Это означает, что, после

СЕВЕРНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Теория вероятностей и статистика класс Используемые учебные пособия: Учебник: Тюрин Ю.Н. и др. Теория вероятностей и статистика. М., МЦНМО: ОАО

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Тема 5 Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia Содержание лекции 1 Введение 2 3 4 Следующий пункт 1 Введение 2 3 4 Проблема... Проблема... Проблема... ... и решение: Девочка

ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Вероятность события относится к основным понятиям теории вероятностей и выражает меру объективной возможности появления события Для практической деятельности важно

I Определение вероятности и основные правила ее вычисления Вероятностный эксперимент Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента зависят в той или иной степени от комплекса условий, при которых

Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей 1 лекция Введение. Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Основные категории алгебра

Лекция 1. Тема: ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Историческая справка Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, возникающих при массовых, однородных

М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Теория вероятностей План лекции П О теории вероятностей как науке П Основные определения теории вероятностей П Частота случайного события Определение вероятности П 4 Применение комбинаторики к подсчету

Элементы теории вероятности Случайные события Детерминированные процессы В науке и технике рассматриваются процессы, исход которых с уверенностью можно предсказать: Если к концам проводника приложить разность

ТЕМА 1 Комбинаторика Вычисление вероятностей Задача 1Б В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали? Поскольку

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Основы теории вероятностей Лекция 2 Содержание 1. Условная вероятность 2. Вероятность произведения событий 3. Вероятность суммы событий 4. Формула полной вероятности Зависимые и независимые события Определение

Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ Текст исправлен и дополнен АННОТАЦИЯ Книга является учебным пособием в котором кратко просто и доступно

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный социально-экономический университет»

Задачи по теории вероятностей и математической статистике. Случайные события Задача. В партии из N изделий изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад изделий k изделий

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЗАДАЧИ. Оглавление (по темам) 1. Формула классического определения вероятности. Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность 4. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения

Комбинаторные формулы Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его U n. Перестановкой из n элементов называется заданный порядок во множестве U n. Примеры перестановок: 1)распределение

ГЛАВА 5 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5 Аксиомы теории вероятностей Различные события можно классифицировать следующим образом:) Невозможное событие событие, которое не может произойти) Достоверное событие

ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,

Формула полной вероятности. Пусть имеется группа событий H 1, H 2,..., H n, обладающая следующими свойствами: 1) Все события попарно несовместны: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Их объединение образует

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Составитель:

МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://inter.vags.ru/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС (ФГОУ

Воробьев В.В. «Лицей» г.калачинска Омской области Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике Большую роль при изучении тем по теории вероятностей и статистики играют

Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Задание. Выберите правильный ответ:. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная... а) отношению числа случаев, благоприятствующих

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. 3.1. Случайные события. Каждая наука при изучении явлений материального мира оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие;

Высшее профессиональное образование Бакалавриат В. С. Мхитарян, В. Ф. Шишов, А. Ю. Козлов Теория вероятностей и математическая статистика Учебник Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию

ОГЛАВЛЕНИЕ РАЗДЕЛ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Предисловие.................................................... 6 ЧАСТЬ I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.............................. 7 ГЛАВА 1. Элементы комбинаторного анализа........................

Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов Интернет-ресурс с методическими материалами http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал

Чив через S событие, состоящее в том, что система незамкнута, можно записать: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2)+B. 2.18. Аналогично решению задач 2.5, 2.6 получаем S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Федеральное Агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Н. Э. Лугина ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебное пособие Томск 2006 Рецензенты: канд.

Лекция Случайные события Определение. Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет С. Г. Валеев С. В. Куркина Тестовые

4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Раздел «Вероятность и статистика» Е.М. Удалова. Приморский район, школа 579 Теория вероятностей математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных

Задача 1. В урне находятся 40 шаров. Вероятность того, что 2 извлечённых шара окажутся белыми, равна 7 60. Сколько в урне белых шаров? Число способов, которыми можно выбрать k предметов из n равна C k

4 Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровская государственная академия экономики и права» Кафедра

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУВПО «Пермский государственный университет» Доц. В.В. Морозенко УДК 59. (075.8) Кафедра высшей математики Теория

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский политехнический университет» Л. И. Константинова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Федеральное агентство железнодорожного транспорта филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский государственный университет

Определение детерминанта матрицы Квадратная матрица состоит из одного элемента A = (a). Определитель такой матрицы равен A = det(a) = a. () a a Квадратная матрица 2 2 состоит из четырех элементов A =

ТОМСКИЙ ТЕХНИКУМ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФИЛИАЛ СГУПС СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ «Элементы комбинаторики. Основы теории вероятностей» дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика

À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Практикум по дисциплине

МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Теоремы сложения и умножения вероятностей Формула полной вероятности Формула Байеса Пусть и B - несовместные события и вероятности

ЗАДАНИЯ: 1. Записать с помощью фигурных скобок множество натуральных чисел, расположенных на луче между числами 10 и 15. Какие из чисел 0; 10; 11; 12; 15; 50 принадлежат этому множеству? 2. Записать множество

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Л.И. КОНСТАНТИНОВА

Лекция 5 Тема Схема Бернулли. Содержание темы Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли. Биномиальная случайная величина. Основные категории бином Ньютона, схема

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ по дисциплине: «МАТЕМАТИКА»

Тема: «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»

Пример 1 . Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение. а) .

б) Так как и , то можно вынести за скобки

Тогда получим

в) .

Пример 2 . Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.

Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.

.

Пример 4 . В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать способами.

Находим по первой формуле

.

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

(по определению полагают и );

.

1.2. Решение комбинаторных задач

Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3.

Задача 2. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Задача 3. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

Решение.

.

Задача 4. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Решение. Солдат в дозор можно выбрать

способами, а офицеров способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти любой офицер, то всего имеется способов.

Задача 5. Найти , если известно, что .

Решение.

Так как , то получим

,

,

, .

По определению сочетания следует, что , . Т.о. .

Ответ: 9

1.3. Понятие о случайном событии. Виды событий. Вероятность события

Пример. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:

достали пронумерованный шар (А);

достали шар с четным номером (В);

достали шар с нечетным номером (С);

достали шар без номера (Д).

Какие из них образуют полную группу?

Решение . А - достоверное событие; Д - невозможное событие;

В и С - противоположные события.

Полную группу событий составляют А и Д, В и С .

Вероятность события , рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

1.4. Классическое определение вероятности

Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть n =1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m =200. Согласно формуле, получим

.

Задача 2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5 т.е.

Подсчитаем число m , благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно

.

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций m составляет

Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов m , благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных независимых исходов:

.

1.5. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А 1 +А 2 + … +А n .

Теорема сложения вероятностей.

Задача 1. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то

Задача 2. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С . Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С .

Решение. События «контрольная работа поступила из города А », «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

, т.е. .

Задача 3. Вероятность того, что день будет ясным, . Найти вероятность того, что день будет облачным.

Решение. События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

Т.е .

1.6. Теорема умножения вероятностей независимых событий

Задача 1. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что в семье два мальчика, а событие В - что один мальчик.

Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка.

Тогда , и по формуле находим

.

Задача 2. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение. Пусть - из первой урны извлечен белый шар; - из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события и независимы.

Так как , , то по формуле находим

.

Задача 3. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.

Решение. Пусть событие А - выход из строя первого элемента, событие В - выход их строя второго элемента. Эти события независимы (по условию).

а) Одновременное появление А и В есть событие АВ . Следовательно,

б) Если работает первый элемент, то имеет место событие (противоположное событию А - выходу этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий и :

Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть и, значит,

II . СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЕЕ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2.1. Случайная величина, способы ее задания

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Если для какой- либо величины ее измерение повторять многократно в практически одинаковых условиях, то обнаружится, что всякий раз получаются несколько отличные друг от друга результаты. Это складывается влияние причин двух видов: 1) основных, определяющих главное значение результата; 2) второстепенных, обуславливающих их расхождение.

При совместном действии этих причин понятия необходимости и случайности оказываются тесно связанными между собой, но необходимое преобладает над случайным.

Таким образом, возможные значения случайных величин принадлежат некоторым числовым множествам.

Случайным является то, что на этих множествах величины могут принять любое значение, но какое именно, заранее сказать нельзя.

Случайная величина связана со случайным событием.

Если случайное событие - качественная характеристика испытаний, то случайная величина - его количественная характеристика .

Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами а их значение – прописными- .

Вероятность того, что случайная величина примет значение обозначают:

и т.д.

Случайные величины задают законами распределения.

Закон распределения случайной величины - это соответствие, установленное между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Законы распределения могут быть заданы тремя способами: табличным, графическим, аналитическим. Способ задания зависит от типа случайной величины.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные случайные величины.

2.2. Дискретная и непрерывная случайные величины

Если значения, которые может принимать данная случайная величина , образует дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел то и сама случайная величина называется дискретной.

Если же значения, которые может принимать данная случайная величина , заполняют конечный или бесконечный промежуток (а, в) числовой оси Ох, то случайная величина называется непрерывной.

Каждому значению случайной величины дискретного типа отвечает определенная вероятность ; каждому промежутку (а, в) из области значений случайной величины непрерывного типа также отвечает определенная вероятность того, что значение, принятое случайной величиной, попадает в этот промежуток.

2.3. Закон распределения случайной величины

Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:

При этом , где суммирование распространяется на все (конечное или бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины .

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью функции плотности вероятности .

Вероятность того, что значение, принятое случайной величиной , попадет в промежуток (а, в), определяется равенством

.

График функции называется кривой распределения . Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток (а, в) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х=а, х=в.

Задача 1. Даны вероятности значений случайной величины : значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 – вероятность 0,4; значение 8 – вероятность 0,1; значение 4 – вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины .

Решение. Расположив значения случайной величины в возрастающем порядке, получим ряд распределения:

Возьмем на плоскости хОр точки (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) и (10; 0,3). Соединив последовательные точки прямолинейными отрезками, получим многоугольник (или полигон ) распределения случайной величины

х

Задача 2. Разыгрываются две вещи стоимостью по 5000 руб и одна вещь стоимостью 30000 руб. Составить закон распределения выигрышей для человека, купившего один билет из 50.

Решение. Искомая случайная величина представляет собой выигрыш и может принимать три значения: 0, 5000 и 30000 руб. Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату - два случая и третьему – один случай. Найдем их вероятности:

; ; .

Закон распределения случайной величины имеет вид:

В качестве проверки найдем

Задача 3. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью , причем

Требуется: 1) Найти коэффициент а; 2) построить график распределения плотности ; 3) найти вероятность попадания в промежуток (1; 2).

Решение. 1) Так как все значения данной случайной величины заключены на отрезке , то

, откуда

, или

Т.е. .

2) Графиком функции в интервале является парабола , а вне этого интервала графиком служит сама ось абсцисс.

х

) Вероятность попадания случайной величины в промежуток (1; 2) найдется из равенства

2.4. Биномиальное распределение

Пусть производится определенное число n независимых опытов, причем в каждом из них с одной и той же вероятностью может наступить некоторое событие Р . Рассмотрим случайную величину , представляющую собой число наступлений событий A в n опытах. Закон ее распределения имеет вид

Где , вычисляется по формуле Бернулли.

Закон распределения, который характеризуется такой таблицей, называется биноминальным .

Задача. Монету подбрасывают 5 раз. Составить закон распределения случайной величины - числа выпадения герба.

Решение. Возможны следующие значения случайной величины: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Зная, что вероятность выпадения герба в одном испытании равна , найдем вероятности значений случайной величины по формуле Бернулли:

Закон распределения имеет вид

Сделаем проверку:

III . МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пример 1 . Найти математическое ожидание случайной величины , зная закон ее распределения

Решение.

Свойства математического ожидания.

1.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

2.Математическое ожидание постоянной величины С равно самой этой величине:

3.Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

4.Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

3.2. Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины.

Пример 2. Найдем математическое ожидание случайных величин и , зная законы их распределения

2)

Решение:

П

Олучили любопытный результат: законы распределения величин и разные, а их математические ожидания одинаковы.

б )

Из рисунка б видно, что значение величины более сосредоточены около математического ожидания , чем значения величины , которые разбросаны (рассеяны) относительно ее математического ожидания (рисунок а ).

Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений случайной величины относительно ее математического ожидания является дисперсия, которая обозначается через .

Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?

Решить уравнения

а) . б) .

Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.

Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?

Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?

Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек.

Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Теория вероятностей

В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).

Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.

из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.

Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки А, К, Р, Ш, Ы. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «Крыша».

В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.

Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

Найти математическое ожидание случайной величины X , если закон ее распределения задан таблицей:

На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течении рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.

Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения: 5. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 1990. – 495 с.

   Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике для техникумов / И.Л.Соловейчик, В.Т. Лисичкин. – М.: Оникс 21 век, 2003. – 464 с.

   Валуцэ И.И. Математика для техникумов / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул. - М.: Наука, 1989. – 575 с.

   Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В двух частях. Часть II / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.

   Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1975. – 872 с.

Дополнительная:

Григулецкий В.Г. Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2 / В.Г. Григулецкий, И.В. Лукьянова, И.А. Петунина. – Краснодар, 2002. – 348 с.

Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: Инфра-М, 1999. – 356 с.

Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т., Т.2. – учебное пособие для студентов вузов. – М.: ТетраСистемс, 1988. – 448 с.

Григулецкий В.Г. Высшая математика / В.Г. Григулецкий, З.В. Ященко. – Краснодар, 1998.-186 с.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2000. – 400 с.

Методы решения комбинаторных задач

Перебор возможных вариантов

Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.

Задача 1.
Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Задача 2.
В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест.

Ответ:
Вариант1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов.
Вариант2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов.
Вариант3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов.
Вариант4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов.
Вариант5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов.
Вариант6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.

Задача 3.
В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?

Ответ:
1) Таня - Петя, 2) Таня - Коля, 3) Таня - Витя, 4) Таня - Олег, 5) Оля - Петя, 6) Оля - Коля, 7) Оля - Витя, 8) Оля - Олег, 9) Наташа - Петя, 10) Наташа - Коля, 11) Наташа - Витя, 12) Наташа - Олег, 13) Света - Петя, 14) Света - Коля, 15) Света - Витя, 16) Света - Олег.

Дерево возможных вариантов

Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название метода - дерево возможных вариантов.

Задача 4.
Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, учитывая, что 0 не может быть первой цифрой в числе.

Ответ: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Задача 5.
Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап - на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути - пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив путешествие на поезде П, на автобусе - А, на байдарках - Б, велосипедах - В, пешком - Х, на канатной дороге - К.

Ответ: На рисунке перечислены все 12 возможных вариантов путешествия школьных туристов.

Задача 6.
Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым уроком.

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив М - математика, Р - русский язык, И - история, А - английский язык, Ф - физкультура.

Ответ: Всего 24 возможных варианта:

Р М И А Ф

Р М И Ф А

Р М А И Ф

Р М А Ф И

Р М Ф И А

Р М Ф А И

И М Р А Ф

И М Р Ф А

И М А Р Ф

И М А Ф Р

И М Ф Р А

И М Ф А Р

А М Р И Ф

А М Р Ф И

А М И Р Ф

А М И Ф Р

А М Ф Р И

А М Ф И Р

Ф М Р И А

Ф М Р А И

Ф М И Р А

Ф М И А Р

Ф М А Р И

Ф М А И Р

Задача 7.
Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого, голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки.
а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?
б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?
в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив Б - брюки, Д - джинсы, С - серая рубашка, Г - голубая рубашка, З - зеленая рубашка, Р - рубашка в клетку, Т - туфли, К - кроссовки.

Ответ: а) 16 дней; б) 8 дней; в) 2 дня.

Составление таблиц

Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач.

Задача 8.
Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - первые цифры искомых чисел, вверху первая строка - вторые цифры.

Ответ: 28.

Задача 9.
Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - имена девочек, вверху первая строка - имена мальчиков.

Ответ: Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы.

Правило умножения

Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос - сколько их существует.

Задача 10.
В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий и зеленый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире?

Решение.
Трусы могут быть белого, красного, синего или зеленого цвета, т.е. существует 4 варианта. Каждый из этих вариантов имеет 4 варианта цвета майки.

4 х 4 = 16.

Ответ: 16 команд.

Задача 11.
6 учеников сдают зачет по математатике. Сколькими способами их можно расположить в списке?

Решение.
Первым в списке может оказаться любой из 6 учеников,
вторым в списке может быть любой из оставшихся 5 учеников,
третьим - любой из оставшихся 4 учеников,
четвертым - любой из оставшихся 3 учеников,
пятым - любой из оставшихся 2 учеников,
шестым - последний 1 ученик.

6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720.

Ответ: 720 способами.

Задача 12.
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7?

Решение.
Первой в двузначном числе может быть 5 цифр (цифра 0 не может быть первой в числе), второй в двузначном числе может быть 4 цифры (0, 2, 4, 6, т.к. число должно быть четным).
5 х 4 = 20.

Ответ: 20 чисел.

Основные понятия комбинаторики

В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3, …, 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 345, 534, 1036, 45 и т. п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 345 и 534), другие входящими в них цифрами (например, 1036 и 5671), третьи различаются и числом цифр (например, 345 и 45).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Рассмотрим их отдельно. Однако предварительно познакомиться с понятием факториала.

1. Понятие факториала

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n.

Пример 1. Вычислить:

а) 3!; б) 7! – 5!; в)

Решение. а) 3! = 1 · 2 · 3 = 6.

б) Так как 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 и 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5, то можно вынести за скобки 5!. Тогда получим 5! (6 · 7 – 1) = 5! · 41 = 120 · 41 = 4920.

в)

Пример 2. Упростить:

Решение. а) Учитывая, что (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · … · n · (n + 1), а n! = 1 · 2 · 3 ... · n, сократим дробь;

б) Так как (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n · (n + 1), то после сокращения получим

(n + 1)! = 1 · 2 · 3 · ... · n · (n + 1), n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Приведем дробь к общему знаменателю, за который примем (n + 1)!. Тогда получим

1 – 3. Вычислите:

1. 2. 3.

4 – 9. Упростите выражения:

4. 6. 8.

5. 7. 9. -

2. Перестановки

Пусть даны три буквы А, В, С. Составим все возможные комбинации из этих букв: АВС, АСВ, ВСА, ВАС, САВ, СВА (всего 6 комбинаций). Мы видим, что они отличаются друг от друга только порядком расположения букв.

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом Рn, где n – число элементов, входящих в каждую перестановку.

Число перестановок можно вычислить по формуле

Рn = n (n – 1) (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 (1)

или с помощью факториала:

Pn = n!. (2)

Так, число перестановок из трех элементов согласно формуле (2) составляет

Р3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6, что совпадает с результатом рассмотренного выше примера.

Действительно, на первое место в комбинации (перестановке) можно поставить три буквы. На второе место уже можно поставить только две буквы из трех (одна заняла первое место), а на третьем окажется только одна из оставшихся. Значит, 3 · 2 · 1 = 6 = Р3.

10. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

11. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

12 – 14. Вычислите:

12. 13. 14.

3.Размещения

Пусть имеются четыре буквы А, В, С, D. Составив все комбинации только из двух букв, получим:

Мы видим, что все полученные комбинации отличаются или буквами, или их порядком (комбинации ВА и АВ считаются различными).

Комбинации из m элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, называются размещениями.

Размещения обозначаются символом А, где m – число всех имеющихся элементов, n – число элементов в каждой комбинации. При этом полагают, что n m. Число размещений можно вычислить по формуле

n множителей

А = (3)

т. е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведено n последовательных целых чисел, из которых большее есть m.

Так, А = 4 · 3 = 12, что совпадает с результатом приведенного примера: поскольку число строк соответствует числу всех имеющихся букв, т. е. m = 4, а число столбцов равно 3, всего имеется 12 различных комбинаций.

Пример 3. Вычислить: а) А; б)

Решение. а) А = 6 · 5 · 4 = 120.

б) Так как А = 15 · 14 · 13, А = 15 · 14 · 13 · 12, А = 15 · 14 · 13 · 12 · 11, то

Пример 4. Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них не повторяется?

Решение. Так как двузначные числа отличаются друг от друга или самими цифрами, или их порядком, то искомое количество равно числу размещений из пяти элементов по два: А = 5 · 4 = 20. Итак, можно составить 20 различных двузначных чисел.

При нахождении числа размещений мы перемножаем n последовательно убывающих целых чисел, т. е. до полного факториала не хватает (m – n) последовательно убывающих целых множителей.

m множителей

Поэтому формулу числа размещений можно записать в виде

А =

Отсюда, учитывая, что числитель равен m!, а знаменатель равен (m – n)!, запишем эту формулу в факториальной форме:

А = (4)

Пример 5. Вычислить в факториальной форме А.

Решение. А =

15-20. Вычислите любым способом:

15. А; 16. А; 17. А; 18. А; 19. А; 20.

21. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

22. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, …, 8, 9?

23. Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписание на день могут быть включены только три из них?

24. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

4. Сочетания

Сочетаниями называются все комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n – натуральные числа, причем n m).

Так, из четырех различных букв А, В, С, D можно составить следующие комбинации, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом: АВ, АС, AD, ВС, ВD, СD. Значит, число сочетаний из четырех элементов по два равно 6. Это кратко записывается так: С = 6.

В каждой комбинации сделаем перестановки элементов:

АВ, АС, AD, BC, BD, CD;

BA, CA, DA, CB, DB, DC.

В результате мы получили размещения из четырех элементов по два. Следовательно, СР2 = А, откуда С =