"тела вращения". Поверхности и тела вращения

Примеры тел вращения

• Шар - образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза
• Цилиндр - образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развертки: Sбок = 2πrh.

• Конус - образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки: Sбок = πrl Площадь полной поверхности конуса: Sкон = πr(l+ r)

При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера , образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Объём и площадь поверхности тел вращения

• Первая теорема Гульдина-Паппа гласит:

• Вторая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Литература

А.В. Погорелов. «Геометрия. 10-11 класс» §21.Тела вращения. - 2011

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Тела вращения" в других словарях:

деталь с закрытым уступом – тела вращения - Часть детали, поверхность которой ограничена с обеих сторон поверхностями вращения, имеющими больший диаметр. Наличие закрытых уступов не влияет на определение ступенчатости наружной поверхности. Проточки для выхода инструмента не считается… …

оболочка, имеющая форму тела вращения - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN shell of revolution … Справочник технического переводчика

тонкого тела теория Энциклопедия «Авиация»

тонкого тела теория - Обтекание тонкого тела при отличном от нуля угле атаки. тонкого тела теория — теория пространственного безвихревого течения идеальной жидкости около тонких тел [тела, у которых поперечный размер l (толщина, размах) мал по сравнению с… … Энциклопедия «Авиация»

Теория пространственного безвихревого течения идеальной жидкости около тонких тел (тела, у которых поперечный размер l (толщина, размах) мал по сравнению с продольным размером L: (τ) = l/LЭнциклопедия техники

Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу по часовой стрелке Угловая скорость (синяя стрелка) в полторы единицы по часовой стрелке Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу против часовой стрелки Уг … Википедия

Раздел физики, изучающий структуру и свойства твердых тел. Научные данные о микроструктуре твердых веществ и о физических и химических свойствах составляющих их атомов необходимы для разработки новых материалов и технических устройств. Физика… … Энциклопедия Кольера

Движение тела в поле тяготения Земли с нач. скоростью, равной нулю. П. т. происходит под действием силы тяготения, зависящей от расстояния r до центра Земли, и силы сопротивления среды (воздуха или воды), к рая зависит от скорости v движения. На… … Физическая энциклопедия

Прямая, неподвижная относительно вращающегося вокруг неё твердого тела. Для твердого тела, имеющего неподвижную точку (например, для детского волчка), прямая, проходящая через эту точку, поворотом вокруг которой тело перемещается из данного… … Энциклопедический словарь

Движение тела в поле тяготения Земли с начальной скоростью, равной нулю. П. т. происходит под действием силы тяготения, зависящей от расстояния r до центра Земли, и силы сопротивления среды (воздуха или воды), которая зависит от скорости… … Большая советская энциклопедия

Книги

• Комплект таблиц. Математика. Многогранники. Тела вращения. 11 таблиц + 64 карточки + методика , . Учебный альбом из 11 листов (формат 68 х 98 см): - Параллельное проектирование. - Изображение плоских фигур. - Поэтапное иллюстрирование доказательства теорем. - Взаимноерасположение прямых и…
• Интегрирование уравнений равновесия упругого тела вращения при симметричном относительно его оси распределении объемных и поверхностных сил , Г.Д. Гродский. Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1934 года (издательство`Известия академии наук СССР`). В…

Пусть T - тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком непрерывной функции y=f(x) .

Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой

V=\pi \int\limits_{a}^{b} f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_{a}^{b}y^2\,dx\,.

Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве \Pi выберем плоскость Oyz , перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии x от плоскости Oyz , является кругом радиуса f(x) и его площадь S(x) равна \pi f^2(x) (рис. 46). Поэтому функция S(x) непрерывна в силу непрерывности f(x) . Далее, если S(x_1)\leqslant S(x_2) , то это значит, что . Но проекциями сечений на плоскость Oyz являются круги радиусов f(x_1) и f(x_2) с центром O , и из f(x_1)\leqslant f(x_2) вытекает, что круг радиуса f(x_1) содержится в круге радиуса f(x_2) .

Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объем вычисляется по формуле

V=\pi \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx= \pi \int\limits_{a}^{b}f^2(x)\,dx\,.

Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , то

V= \pi \int\limits_{a}^{b}y_2^2\,dx- \pi \int\limits_{a}^{b}y_1^2\,dx= \pi\int\limits_{a}^{b}\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Формулой (3) можно воспользоваться и для вычисления объема тела вращения в случае, когда граница вращающейся фигуры задана параметрическими уравнениями. В этом случае приходится пользоваться заменой переменной под знаком определенного интеграла.

В некоторых случаях оказывается удобным разлагать тела вращения не на прямые круговые цилиндры, а на фигуры иного вида.

Например, найдем объем тела, получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат . Сначала найдем объем, получаемый при вращении прямоугольника с высотой y#, в основании которого лежит отрезок . Этот объем равен разности объемов двух прямых круговых цилиндров

\Delta V_k= \pi y_k x_{k+1}^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_{k+1}+x_k\bigr) \bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).

Но теперь ясно, что искомый объем оценивается сверху и снизу следующим образом:

2\pi \sum_{k=0}^{n-1} m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_{k=0}^{n-1} M_kx_k\Delta x_k\,.

Отсюда легко следует формула объёма тела вращения вокруг оси ординат :

V=2\pi \int\limits_{a}^{b} xy\,dx\,.

Пример 4. Найдем объем шара радиуса R .

Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса R с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси Ox , образует шар. Уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=R^2 , поэтому y^2=R^2-x^2 . Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема

\frac{1}{2}V= \pi\int\limits_{0}^{R}y^2\,dx= \pi\int\limits_{0}^{R} (R^2-x^2)\,dx= \left.{\pi\!\left(R^2x- \frac{x^3}{3}\right)}\right|_{0}^{R}= \pi\!\left(R^3- \frac{R^3}{3}\right)= \frac{2}{3}\pi R^3.

Следовательно, объем всего шара равен \frac{4}{3}\pi R^3 .

Пример 5. Вычислить объем конуса, высота которого h и радиус основания r .

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпала с высотой h (рис. 47), а вершину конуса примем за начало координат. Тогда уравнение прямой OA запишется в виде y=\frac{r}{h}\,x .

Пользуясь формулой (3), получим:

V=\pi \int\limits_{0}^{h} y^2\,dx= \pi \int\limits_{0}^{h} \frac{r^2}{h^2}\,x^2\,dx= \left.{\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{h}= \frac{\pi}{3}\,r^2h\,.

Пример 6. Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды \begin{cases}x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end{cases} (рис. 48).

Решение. Построим астроиду. Рассмотрим половину верхней части астроиды, расположенной симметрично относительно оси ординат. Используя формулу (3) и меняя переменную под знаком определенного интеграла, найдем для новой переменной t пределы интегрирования.

Если x=a\cos^3t=0 , то t=\frac{\pi}{2} , а если x=a\cos^3t=a , то t=0 . Учитывая, что y^2=a^2\sin^6t и dx=-3a\cos^2t\sin{t}\,dt , получаем:

V=\pi \int\limits_{a}^{b} y^2\,dx= \pi \int\limits_{\pi/2}^{0} a^2\sin^6t \bigl(-3a\cos^2t\sin{t}\bigr)\,dt= \ldots= \frac{16\pi}{105}\,a^3.

Объем всего тела, образованного вращением астроиды, будет \frac{32\pi}{105}\,a^3 .

Пример 7. Найдем объем тела, получаемого при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды \begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\ y=a(1-\cos{t}).\end{cases} .

Решение. Воспользуемся формулой (4): V=2\pi \int\limits_{a}^{b}xy\,dx , и заменим переменную под знаком интеграла, учитывая, что первая арка циклоиды образуется при изменении переменной t от 0 до 2\pi . Таким образом,

\begin{aligned}V&= 2\pi \int\limits_{0}^{2\pi} a(t-\sin{t})a(1-\cos{t})a(1-\cos{t})\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_{0}^{2\pi} (t-\sin{t})(1-\cos{t})^2\,dt=\\ &= 2\pi a^3 \int\limits_{0}^{2\pi}\bigl(t-\sin{t}- 2t\cos{t}+ 2\sin{t}\cos{t}+ t\cos^2t- \sin{t}\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.{2\pi a^3\!\left(\frac{t^2}{2}+ \cos{t}- 2t\sin{t}- 2\cos{t}+ \sin^2t+ \frac{t^2}{4}+ \frac{t}{4}\sin2t+ \frac{1}{8}\cos2t+ \frac{1}{3}\cos^3t\right)}\right|_{0}^{2\pi}=\\ &= 2\pi a^3\!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac{1}{8}+ \frac{1}{3}-1+2- \frac{1}{8}- \frac{1}{3}\right)= 6\pi^3a^3. \end{aligned}

Тела вращения

Работу выполнили студентки 1ДО группы: Вилачева Мария

Коркина Елена

Тела вращения

• Телами вращения называются объемные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченная кривой, вокруг оси, лежащий в той же плоскости.

Цилиндр.

Эллиптический цилиндр

Правильный круглый цилиндр

Цили́ндр (греч. kýlindros, валик, каток) - геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра , а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра .

Примеры тел, имеющих форму цилиндра:

• Сквозное отверстие в стене, сделанное дрелью, является цилиндром: его основание – круг с диаметром, равным диаметру сверла, высота – толщина стены.

Связанные определения.

• Цилиндр называется прямым , если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
• Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
• Высотой цилиндра называется расстояние между его плоскостями.
• Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центр оснований. Она параллельна образующим.
• Осевое сечение – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Свойства

• Основания цилиндра равны.
• У цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.
• У цилиндра образующие параллельны и равны.
• Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Основные формулы

• V = π r 2 h - объём прямого кругового цилиндра
• S = 2π rh - Площадь боковой поверхности цилиндра
• (где r - радиус основания, h - высота).

Площадь полной поверхности цилиндра

складывается из площади боковой поверхности и площади оснований. Для прямого кругового цилиндра:

S = 2π rh + 2π r 2 .

Конус

Ко́нус - тело , которое состоит из круга – основания конуса , точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Прямой круговой конус

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса .
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса .
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.

• Конус называется прямым , если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .
• Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением .

• Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.
• Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, отсекает от него конус, подобный данному.
• Площадь полной поверхности конуса равна

S ппк = S бп + S осн

• Площадь боковой поверхности конуса равна

S = πRl

где R - радиус основания, l - длина образующей.

• Объем кругового конуса равен

V=⅓πR 2 H

Шар и сфера

Шар - геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой отстоят на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара . Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара , а его оба конца - полюсами шара . Поверхность шара называется сферой .

Примеры тел, имеющих форму шара или сферы:

• Купол здания может иметь форму части сферы, отсеченной плоскостью.

• Земля имеет форму, близкую к шару.

• Мячи для игры в футбол, теннис имеют форму шара.

Связанные определения

• Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом . Другие плоские сечения шара называются малыми кругами
• Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности (сферы), называется радиусом .
• Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящей через центр шара, называется диаметром .

• Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
• Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью .

Свойства

• Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
• Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии .

Основные формулы

Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле

Телами вращения называют тела, ограниченные либо поверхностью вращения, либо поверхностью вращения и плоскостью (рисунок 134). Под поверхностью вращения понимают поверхность, полученную от вращения какой-либо линии (ABCDE ), плоской или пространственной, называемой образующей, вокруг неподвижной прямой (i ) - оси вращения .

Рисунок 134

Любая точка образующей поверхности вращения описывает окружность, расположенную в плоскости, перпендикулярной к оси вращения – параллель , следовательно, плоскость, перпендикулярная к оси вращения, всегда пересекается с поверхностью вращения по окружности. Наибольшая параллель - экватор . Наименьшая параллель - горло (горловина).

Плоскости, проходящие через ось вращения, называют меридиональными плоскостями .

На комплексном чертеже изображение тел вращения выполняется посредством изображения ребер оснований и линий очерков поверхности.

Линии пересечения меридиональных плоскостей с поверхностью называют меридианами .

Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проекций, называется главной меридиональной плоскостью . Линия ее пересечения с поверхностью - главный меридиан .

Прямой круговой цилиндр. Прямым круговым цилиндром (рисунок 135) называют тело, ограниченное цилиндрической поверхностью вращения и двумя кругами - основаниями цилиндра, расположенными в плоскостях, перпендикулярных к оси цилиндра.Цилиндрической поверхностью вращения называется поверхность, полученная при вращении прямолинейной образующейAA 1 вокруг параллельной ей неподвижной прямой -i (ось вращения). Размерами, характеризующими прямой круговой цилиндр, являются его диаметрDц и высотаl (расстояние между основаниями цилиндра).

Рисунок 135

Прямой круговой цилиндр можно также рассматривать как тело, полученное при вращении какого-либо прямоугольника ABCD вокруг одной из его сторон, например, ВС (рисунок 136). Сторона ВС является осью вращения, а сторона AD - образующей цилиндра. Две другие стороны обозначат основания цилиндра.

Рисунок 136

Прямоугольника АВ и CD при вращении образуют круги - основания цилиндра.

Построение проекций цилиндра.

Построение горизонтальной и фронтальной проекций цилиндра начинают с изображения основания цилиндра, т. е. двух проекций окружности (см. рисунок 135, б). Так как окружность расположена на плоскости Н , то она проецируется на эту плоскость без искажения. Фронтальная проекция окружности представляет собой отрезок горизонтальной прямой линии, равный диаметру окружности основания.

После построения основания на фронтальной проекции проводят две очерковые образующие (крайние образующие) и на них откладывают высоту цилиндра. Проводят отрезок горизонтальной прямой, который является фронтальной проекцией верхнего основания цилиндра (рисунок 135, в).

Определение недостающих проекций точек А и В, расположенных на поверхности цилиндра, по заданным фронтальным проекциям в данном случае затруднений не вызывает, так как вся горизонтальная проекция боковой поверхности цилиндра представляет собой окружность (рисунок 137, а). Следовательно, горизонтальные проекции точек А и В можно найти, проводя из данных точек A"" и B"" вертикальные линии связи до их пересечения с окружностью в искомых точках A" и B".

Профильные проекции точек А и В строят также при помощи вертикальных и горизонтальных линий связи.

Изометрическую проекцию цилиндра вычерчивают, как показано на рисунок 137, б.

В изометрии точки А и В строят по их координатам. Например, для построения точки В от начала координат О по оси x откладывают координату ∆x , а затем через ее конец проводят прямую, параллельную оси у , до пересечения с контуром основания в точке 2 . Из этой точки параллельно оси z проводят прямую, на которой откладывают координату Z B , точки В .

Рисунок 137

Прямой круговой конус . Прямым круговым конусом (рисунок 138) называют тело, ограниченное конической поверхностью вращения и кругом, расположенным в плоскости, перпендикулярной к оси конуса.Коническая поверхность получается при вращении прямолинейной образующейSA (рисунок 138, а), проходящей через неподвижную точкуS на оси вращенияi и составляющей с этой осью некоторый постоянный угол. ТочкаS называетсявершиной конуса , а коническая поверхность - боковой поверхностью конуса. Размер прямого кругового конуса характеризуют диаметр его основанияD K и высотаН .

Рисунок 138

Прямой круговой конус можно также рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника SAB вокруг его катета SB (рисунок 139). При таком вращении гипотенуза описывает коническую поверхность, а катет АВ - круг, т. е. основание конуса.

Рисунок 139

Построение проекций конуса.

Последовательность построения двух проекций конуса показана на рисунке 167, б и в. Сначала строят две проекции основания. Горизонтальная проекция основания - окружность. Фронтальной проекцией будет отрезок горизонтальной прямой, равный диаметру этой окружности (рисунок 138, б). На фронтальной проекции из середины основания восставляют перпендикуляр, и на нем откладывают высоту конуса (рисунок 138, в). Полученную фронтальную проекцию вершины конуса соединяют прямыми с концами фронтальной проекции основания и получают фронтальную проекцию конуса.

Построение точек на поверхности конуса

Если на поверхности конуса задана одна проекция точки А (например, фронтальная проекция на рисунке 140), то две другие проекции этой точки определяют с помощью вспомогательных линий - образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А , или окружности, расположенной в плоскости, параллельной основанию конуса.

Рисунок 140

В первом случае (рисунок 140, а) через точку A проводят фронтальную проекцию 1""S"" вспомогательной образующей. Пользуясь вертикальной линией связи, проведенной из точки 1 , расположенной на фронтальной проекции окружности основания, находят горизонтальную проекцию 1" этой образующей, на которой при помощи линии связи, проходящей через A" , находят искомую точку A .

Во втором случае (рисунок 140, б) вспомогательной линией, проходящей через точку А , будет окружность, расположенная на конической поверхности и параллельная плоскости Н - параллель. Фронтальная проекция этой окружности изображается в виде отрезка 1""1"" горизонтальной прямой, величина которого равна диаметру вспомогательной окружности. Искомая горизонтальная проекция A" точки А находится на пересечении линии связи, опущенной из точки A" , с горизонтальной проекцией вспомогательной окружности.

Если заданная фронтальная проекция 1"" точки 1 расположена на контурной (очерковой) образующей, то горизонтальная проекция точки находится без вспомогательных линий.

В изометрической проекции точку А , находящуюся на поверхности конуса, строят по трем координатам (см. рисунок 140, в):  X ,  Y и Z А О по оси х отложена координата  X  Y z Z А А .

Шар. Шаром (рисунок 141) называют тело, полученное при вращении полукругаABC (образующая) вокруг его диаметраАС (ось вращения), а поверхность, которую при этом описывает дугаABC , называется шаровой или сферической. Шар относится к телам, ограниченным только поверхностью вращения.

Рисунок 141

Шаровая (сферическая) поверхность является геометрическим местом точек, равноудаленных от одной точки О , называемой центром шара . Если шар рассечь горизонтальными плоскостями, то в сечении получатся окружности – параллели . Наибольшая из параллелей имеет диаметр равный диаметру шара. Такая окружность называется экватором . Окружности же, получаемые в результате сечений шара плоскостями, проходящими через его ось вращения, называются меридианами .

Построение проекций шара и точек на его поверхности

Проекции шара приведены на рисунке 142, а. Горизонтальная и фронтальная проекции - окружности радиуса, равного радиусу сферы.

Рисунок 142

Если точка А расположена на сферической поверхности, то вспомогательная линия 1"" 2"" , проведенная через эту точку параллельно оси Ох (параллель), проецируется на горизонтальную плоскость проекций окружностью. На горизонтальной проекции вспомогательной окружности находят с помощью линии связи искомую горизонтальную проекцию A" точки А .

Величина диаметра вспомогательной окружности равна фронтальной проекции 1""2"" .

Аксонометрическое изображение сферы (шара) выполняется в виде окружности (рисунок 142 б), радиус которой геометрически определяется как расстояние от центра сферы до проекции экватора (эллипса) вдоль большей ее оси (перпендикулярной Oz ).

В аксонометрической проекции точку А , находящуюся на поверхности шара, строят по трем координатам: X А , Y А и Z А . Эти координаты последовательно откладывают по направлениям, параллельным изометрическим осям. В рассматриваемом примере от точки О по оси х отложена координата X А ; из конца ее параллельно оси у проведена прямая, на которой отложена координата Y А ; из конца отрезка, параллельно оси z проведена прямая, на которой отложена координата Z А . В результате построений получим искомую точку А .

Тор – тело (рисунок 143), образованное вращением окружности или ее дуги вокруг оси, расположенной в одной с ней плоскости но не проходящей через центр окружности или ее дуги.

Рисунок 143

Если ось вращения не пересекает образующую окружность, то тор называют кольцом (открытый тор) (рисунок 143, а). Если же ось вращения пересекает образующую окружность, то получается торовая поверхность бочкообразном формы (закрытый тор или пересекающийся тор) (рисунок 143, б). В последнем случае образующей торовой поверхности является дуга ABC окружности.

Наибольшую из окружностей, которые описывают точки образующей торовой поверхности, называют экватором , а наименьшую - горлом , или горловиной.

Построение проекций тора

Круговое кольцо (или открытый тор) имеет горизонтальную проекцию в виде двух концентрических окружностей, разность радиусов которых равна толщине кольца или диаметру образующей окружности (рисунок 145). Фронтальная проекция ограничивается справа и слева дугами полуокружностей диаметра образующей окружности.

На рисунке 144, а и б приведены два вида закрытого тора. В первом случае образующая дуга окружности радиуса R отстоит от оси вращения на расстоянии меньше радиуса R , а во втором случае - больше. В обоих случаях фронтальные проекции тора представляют собой действительный вид двух образующих дуг окружности радиуса R , расположенных симметрично по отношению к фронтальной проекции оси вращения. Профильными проекциями тора будут окружности.

Рисунок 144

Построение точек на поверхности тора

В случае, когда точка А лежит на поверхности кругового кольца и дана одна ее проекция, для нахождения второй проекции этой точки применяется вспомогательная окружность, проходящая через данную точку А и расположенная на поверхности кольца в плоскости, перпендикулярной оси кольца (рисунок 145).

Если задана фронтальная проекция A"" точки А , лежащей на поверхности кольца, то для нахождения ее второй проекции (в данном случае - горизонтальной) через A" проводят фронтальную проекцию вспомогательной окружности - отрезок горизонтальной прямой линии 2""2"" . Затем строят горизонтальную проекцию 2"2" этой окружности и на ней, применяя линию связи, находят точку A" .

Если задана горизонтальная проекция B" точки B , расположенной на поверхности этого кольца, то для нахождения фронтальной проекции этой точки через 1" проводят горизонтальную проекцию вспомогательной окружности радиуса R 1 . Затем через левую и правую точки 1" и 1" этой окружности проводят вертикальные линии связи до пересечения с фронтальными проекциями очерковой образующей окружности радиуса R и получают точки 1"" и 1"" . Эти точки соединяют горизонтальной прямой, которая представляет собой фронтальную проекцию вспомогательной окружности (она будет видима). Проводя вертикальную линию связи из точки B" до пересечения с прямой 1""1"" получаем искомую точку B"" .

Такие же приемы построения применимы и для точек, находящихся на поверхности тора.

Рисунок 145

Построение аксонометрического изображения тора можно разделит на три этапа (рисунок 146). Сначала строится в виде эллипса проекция радиальной осевой линии (траектория движения центра образующей окружности). Затем определяем радиус сферы, касающейся тора по образующей (окружности). Для этого строим в виде меньшего эллипса проекцию фронтальной очерковой образующей тора. Радиус сферы определим как длину отрезка О 1 F от центра эллипса до точки на этом эллипсе, лежащей на большой оси эллипса (перпендикулярной Oy ). Далее строим большое количество окружностей радиусом R сферы с центрами на проекции радиальной осевой тора О 1 … О n (чем больше, тем точнее контур будущего тора). В завершение проводим линию контура тора как линию, касающуюся каждой окружности сферы.

Рисунок 146

В аксонометрической проекции точку А , находящуюся на поверхности тора, строят по трем координатам: X А , Y А и Z А . Эти координаты последовательно откладывают по направлениям, параллельным изометрическим осям.