Модуль раскрывается знаком плюс. Калькулятор онлайн.Решение уравнений и неравенств с модулями
Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает.
Российский математик Ю.И. Манин
Уравнения с модулем
Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются уравнения, содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких уравнений необходимо знать определение и основные свойства модуля. Естественно, что учащиеся должны иметь навыки решения уравнений такого типа.
Основные понятия и свойства
Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:
К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:
Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени.
Кроме того , если , где , то и
Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений с модулями , формулируются посредством следующих теорем:
Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство
Теорема 2. Равенство равносильно неравенству .
Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .
Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Уравнения , содержащие переменные под знаком модуля».
Решение уравнений с модулем
Наиболее распространенным в школьной математике методом решения уравнений с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. В этой связи учащиеся должны знать и другие , более эффективные методы и приемы решения таких уравнений. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье.
Пример 1. Решить уравнение . (1)
Решение. Уравнение (1) будем решать «классическим» методом –методом раскрытия модулей. Для этого разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая.
1. Если , то , , , и уравнение (1) принимает вид . Отсюда вытекает . Однако здесь , поэтому найденное значение не является корнем уравнения (1).
2. Если , то из уравнения (1) получаем или .
Так как , то корень уравнения (1).
3. Если , то уравнение (1) принимает вид или . Отметим , что .
Ответ: , .
При решении последующих уравнений с модулем будем активно использовать свойства модулей с целью повышения эффективности решения подобных уравнений.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Так как и , то из уравнения следует . В этой связи , , , и уравнение принимает вид . Отсюда получаем . Однако , поэтому исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Так как , то . Если , то , и уравнение принимает вид .
Отсюда получаем .
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде . (2)
Полученное уравнение относится к уравнениям типа .
Принимая во внимание теорему 2, можно утверждать, что уравнение (2) равносильно неравенству . Отсюда получаем .
Ответ: .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение имеет вид . Поэтому , согласно теореме 3 , здесь имеем неравенство или .
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. Положим , что . Так как , то заданное уравнение принимает вид квадратного уравнения , (3)
где . Поскольку уравнение (3) имеет единственный положительный корень и , то . Отсюда получаем два корня исходного уравнения: и .
Пример 7. Решить уравнение . (4)
Решение. Так как уравнение равносильно совокупности двух уравнений: и , то при решении уравнения (4) необходимо рассмотреть два случая.
1. Если , то или .
Отсюда получаем , и .
2. Если , то или .
Так как , то .
Ответ: , , , .
Пример 8. Решить уравнение . (5)
Решение. Так как и , то . Отсюда и из уравнения (5) следует, что и , т.е. здесь имеем систему уравнений
Однако данная система уравнений является несовместной.
Ответ: корней нет.
Пример 9. Решить уравнение . (6)
Решение. Если обозначить , то и из уравнения (6) получаем
Или . (7)
Поскольку уравнение (7) имеет вид , то это уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем . Так как , то или .
Ответ: .
Пример 10. Решить уравнение . (8)
Решение. Согласно теореме 1 можно записать
(9)
Принимая во внимание уравнение (8), делаем вывод о том, что оба неравенства (9) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений
Однако по теореме 3 приведенная выше система уравнений равносильна системе неравенств
(10)
Решая систему неравенств (10) получаем . Так как система неравенств (10) равносильна уравнению (8), то исходное уравнение имеет единственный корень .
Ответ: .
Пример 11. Решить уравнение . (11)
Решение. Пусть и , тогда из уравнения (11) вытекает равенство .
Отсюда следует, что и . Таким образом, здесь имеем систему неравенств
Решением данной системы неравенств являются и .
Ответ: , .
Пример 12. Решить уравнение . (12)
Решение. Уравнение (12) будем решать методом последовательного раскрытия модулей. Для этого рассмотрим несколько случаев.
1. Если , то .
1.1. Если , то и , .
1.2. Если , то . Однако , поэтому в данном случае уравнение (12) корней не имеет.
2. Если , то .
2.1. Если , то и , .
2.2. Если , то и .
Ответ: , , , , .
Пример 13. Решить уравнение . (13)
Решение. Поскольку левая часть уравнения (13) неотрицательна, то и . В этой связи , и уравнение (13)
принимает вид или .
Известно , что уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , решая которые получаем , . Так как , то уравнение (13) имеет один корень .
Ответ: .
Пример 14. Решить систему уравнений (14)
Решение. Так как и , то и . Следовательно, из системы уравнений (14) получаем четыре системы уравнений:
Корни приведенных выше систем уравнений являются корнями системы уравнений (14).
Ответ: ,, , , , , , .
Пример 15. Решить систему уравнений (15)
Решение. Так как , то . В этой связи из системы уравнений (15) получаем две системы уравнений
Корнями первой системы уравнений являются и , а из второй системы уравнений получаем и .
Ответ: , , , .
Пример 16. Решить систему уравнений (16)
Решение. Из первого уравнения системы (16) следует, что .
Так как , то . Рассмотрим второе уравнение системы. Поскольку , то , и уравнение принимает вид , , или .
Если подставить значение в первое уравнение системы (16) , то , или .
Ответ: , .
Для более глубокого изучения методов решения задач , связанных с решением уравнений , содержащих переменные под знаком модуля , можно посоветовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 200 с.
3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – .
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями . Программа для решения уравнений и неравенств с модулями не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
|x| или abs(x) - модуль xВведите уравнение или неравенство с модулями
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Уравнения и неравенства с модулями
В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями. Для их решения можно применять геометрический метод, основанный на том, что \(|x-a| \) - это расстояние на числовой прямой между точками x и a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Например, для решения уравнения \(|x-3|=2 \) нужно найти на числовой прямой точки, удалённые от точки 3 на расстояние 2. Таких точек две: \(x_1=1 \) и \(x_2=5 \).
Решая неравенство \(|2x+7|
Но основной способ решения уравнений и неравенств с модулями связан с так называемым
«раскрытием модуля по определению»:
если \(a \geq 0 \), то \(|a|=a \);
если \(a
Как правило, уравнение (неравенство) с модулями сводится к совокупности уравнений (неравенств), не содержащих знак модуля.
Кроме указанного определения, используются следующие утверждения:
1) Если \(c > 0 \), то уравнение \(|f(x)|=c \) равносильно совокупности уравнений:
\(\left[\begin{array}{l} f(x)=c \\ f(x)=-c \end{array}\right. \)
2) Если \(c > 0 \), то неравенство \(|f(x)|
3) Если \(c \geq 0 \), то неравенство \(|f(x)| > c \) равносильно совокупности неравенств:
\(\left[\begin{array}{l} f(x) c \end{array}\right. \)
4) Если обе части неравенства \(f(x) ПРИМЕР 1. Решить уравнение \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).
Если \(x-1 \geq 0 \), то \(|x-1| = x-1 \) и заданное уравнение принимает вид
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Если же \(x-1
\(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Таким образом, заданное уравнение следует рассмотреть по отдельности в каждом из двух указанных случаев.
1) Пусть \(x-1 \geq 0 \), т.е. \(x \geq 1 \). Из уравнения \(x^2 +2x -8 = 0 \) находим \(x_1=2, \; x_2=-4\).
Условию \(x \geq 1 \) удовлетворяет лишь значение \(x_1=2\).
2) Пусть \(x-1
Ответ: \(2; \;\; 1-\sqrt{5} \)
ПРИМЕР 2. Решить уравнение \(|x^2-6x+7| = \frac{5x-9}{3} \).
Первый способ
(раскрытие модуля по определению).
Рассуждая, как в примере 1, приходим к выводу, что заданное уравнение нужно рассмотреть по отдельности при выполнении
двух условий: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) или \(x^2-6x+7
1) Если \(x^2-6x+7 \geq 0 \), то \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) и заданное уравнение принимает вид
\(x^2-6x+7 = \frac{5x-9}{3} \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Решив это квадратное уравнение, получим:
\(x_1=6, \; x_2=\frac{5}{3} \).
Выясним, удовлетворяет ли значение \(x_1=6 \) условию \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для этого подставим указанное значение
в квадратное неравенство. Получим: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), т.е. \(7 \geq 0 \) - верное неравенство.
Значит, \(x_1=6 \) - корень заданного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли значение \(x_2=\frac{5}{3} \) условию \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для этого подставим указанное
значение в квадратное неравенство. Получим: \(\left(\frac{5}{3} \right)^2 -\frac{5}{3} \cdot 6 + 7 \geq 0 \), т.е.
\(\frac{25}{9} -3 \geq 0 \) - неверное неравенство. Значит, \(x_2=\frac{5}{3} \) не является корнем заданного уравнения.
2) Если \(x^2-6x+7 Значение \(x_3=3\) удовлетворяет условию \(x^2-6x+7 Значение \(x_4=\frac{4}{3} \) не удовлетворяет условию \(x^2-6x+7 Итак, заданное уравнение имеет два корня: \(x=6, \; x=3 \).
Второй способ.
Если дано уравнение \(|f(x)| = h(x) \), то при \(h(x)
\(\left[\begin{array}{l} x^2-6x+7 = \frac{5x-9}{3} \\ x^2-6x+7 = -\frac{5x-9}{3} \end{array}\right. \)
Оба эти уравнения решены выше (при первом способе решения заданного уравнения), их корни таковы:
\(6,\; \frac{5}{3},\; 3,\; \frac{4}{3} \). Условию \(\frac{5x-9}{3} \geq 0 \) из этих четырёх значений
удовлетворяют лишь два: 6 и 3. Значит, заданное уравнение имеет два корня: \(x=6, \; x=3 \).
Третий способ
(графический).
1) Построим график функции \(y = |x^2-6x+7| \). Сначала построим параболу \(y = x^2-6x+7 \).
Имеем \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). График функции \(y = (x-3)^2-2 \) можно получить из графика функции \(y = x^2 \)
сдвигом его на 3 единицы масштаба вправо (по оси x) и на 2 единицы масштаба вниз (по оси y).
Прямая x=3 - ось интересующей нас параболы. В качестве контрольных точек для более точного построения графика удобно
взять точку (3; -2) - вершину параболы, точку (0; 7) и симметричную ей относительно оси параболы точку (6; 7).
Чтобы построить теперь график функции \(y = |x^2-6x+7| \), нужно оставить без изменения те части построенной параболы,
которые лежат не ниже оси x, а ту часть параболы, которая лежит ниже оси x, отобразить зеркально относительно оси x.
2) Построим график линейной функции \(y = \frac{5x-9}{3} \). В качестве контрольных точек удобно взять точки
(0; –3) и (3; 2).
Существенно то, что точка х = 1,8 пересечения прямой с осью абсцисс располагается правее левой точки пересечения
параболы с осью абсцисс - это точка \(x=3-\sqrt{2} \) (поскольку \(3-\sqrt{2}
3) Судя по чертежу, графики пересекаются в двух точках - А(3; 2) и В(6; 7). Подставив абсциссы этих точек
x = 3 и x = 6 в заданное уравнение, убеждаемся, что и при том и при другом значении получается верное числовое равенство.
Значит, наша гипотеза подтвердилась - уравнение имеет два корня: x = 3 и x = 6.
Ответ: 3; 6.
Замечание . Графический способ при всём своём изяществе не очень надёжен. В рассмотренном примере он сработал только потому, что корни уравнения - целые числа.
ПРИМЕР 3. Решить уравнение \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)
Первый способ
Выражение 2x–4 обращается в 0 в точке х = 2, а выражение х + 3 - в точке х = –3. Эти две точки разбивают числовую
прямую на три промежутка: \(x
Рассмотрим первый промежуток: \((-\infty; \; -3) \).
Если x
Рассмотрим второй промежуток: \([-3; \; 2) \).
Если \(-3 \leq x
Рассмотрим третий промежуток: \(}