Что такое sin и cos. Что такое синус и косинус
С центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Определение
Синус (sin α)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
| y = sin x | y = cos x | |
| Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Возрастание | ||
| Убывание | ||
| Максимумы, y = 1 | ||
| Минимумы, y = -1 | ||
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
;
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
С центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Область определения и непрерывность | ||
| Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Возрастание | - | |
| Убывание | - | |
| Экстремумы | - | - |
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа: 
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
Где были рассмотрены задачи на решение прямоугольного треугольника, я пообещал изложить приём запоминания определений синуса и косинуса. Используя его, вы всегда быстро вспомните – какой катет относится к гипотенузе (прилежащий или противолежащий). Решил в «долгий ящик не откладывать», необходимый материал ниже, прошу ознакомиться 😉
Дело в том, что я не раз наблюдал, как учащиеся 10-11 классов с трудом вспоминают данные определения. Они прекрасно помнят, что катет относится к гипотенузе, а вот какой из них - забывают и путают. Цена ошибки, как вы знаете на экзамене – это потерянный бал.
Информация, которую я представлю непосредственно к математике не имеет никакого отношения. Она связана с образным мышлением, и с приёмами словесно-логической связи. Именно так, я сам, раз и на всегда запомнил данные определения. Если вы их всё же забудете, то при помощи представленных приёмов всегда легко вспомните.
Напомню определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Итак, какие ассоциации у вас вызывает слово косинус?
Наверное, у каждого свои 😉 Запоминайте связку:
Таким образом, у вас сразу в памяти возникнет выражение –
«… отношение ПРИЛЕЖАЩЕГО катета к гипотенузе ».
Проблема с определением косинуса решена.
Если нужно вспомнить определение синуса в прямоугольном треугольнике, то вспомнив определение косинуса, вы без труда установите, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Ведь катетов всего два, если прилежащий катет «занят» косинусом, то синусу остаётся только противолежащий.
Как быть с тангенсом и котангенсом? Путаница та же. Учащиеся знают, что это отношение катетов, но проблема вспомнить какой к которому относится – то ли противолежащий к прилежащему, то ли наоборот.
Определения:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к противолежащему:
Как запомнить? Есть два способа. Один так же использует словесно-логическую связь, другой – математический.
СПОСОБ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
Есть такое определение – тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
*Запомнив формулу, вы всегда сможете определить, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Аналогично. Котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу:
Итак! Запомнив указанные формулы вы всегда сможете определить, что:
— тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему
— котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к противолежащему.
СПОСОБ СЛОВЕСНО-ЛОГИЧЕСКИЙ
О тангенсе. Запомните связку:
То есть если потребуется вспомнить определение тангенса, при помощи данной логической связи, вы без труда вспомните, что это
«… отношение противолежащего катета к прилежащему»
Если речь зайдёт о котангенсе, то вспомнив определение тангенса вы без труда озвучите определение котангенса –
«… отношение прилежащего катета к противолежащему»
Есть интересный приём по запоминанию тангенса и котангенса на сайте " Математический тандем " , посмотрите.
СПОСОБ УНИВЕРСАЛЬНЫЙ
Можно просто зазубрить. Но как показывает практика, благодаря словесно-логическим связкам человек запоминает информацию надолго, и не только математическую.
Надеюсь, материал был вам полезен.
С уважением, Александр Крутицких
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются основными категориями тригонометрии — раздела математики, и неразрывно связаны с определением угла. Владение этой математической наукой требует запоминания и понимания формул и теорем, а также развитого пространственного мышления. Именно поэтому у школьников и студентов тригонометрические вычисления нередко вызывают трудности. Чтобы побороть их, следует подробнее познакомиться с тригонометрическими функциями и формулами.
Понятия в тригонометрии
Чтобы разобраться в базовых понятиях тригонометрии, следует сначала определиться с тем, что такое прямоугольный треугольник и угол в окружности, и почему именно с ними связаны все основные тригонометрические вычисления. Треугольник, в котором один из углов имеет величину 90 градусов, является прямоугольным. Исторически эта фигура часто использовалась людьми в архитектуре, навигации, искусстве, астрономии. Соответственно, изучая и анализируя свойства этой фигуры, люди пришли к вычислению соответствующих соотношений её параметров.
Основные категории, связанные с прямоугольными треугольниками — гипотенуза и катеты. Гипотенуза — сторона треугольника, лежащая против прямого угла. Катеты, соответственно, это остальные две стороны. Сумма углов любых треугольников всегда равна 180 градусам.
Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии, который не изучается в школе, однако в прикладных науках типа астрономии и геодезии, учёные пользуются именно им. Особенность треугольника в сферической тригонометрии в том, что он всегда имеет сумму углов более 180 градусов.
Углы треугольника
В прямоугольном треугольнике синусом угла является отношение катета, противолежащего искомому углу, к гипотенузе треугольника. Соответственно, косинус — это отношение прилежащего катета и гипотенузы. Оба эти значения всегда имеют величину меньше единицы, так как гипотенуза всегда длиннее катета.
Тангенс угла — величина, равная отношению противолежащего катета к прилежащему катету искомого угла, или же синуса к косинусу. Котангенс, в свою очередь, это отношение прилежащего катета искомого угла к противолежащему кактету. Котангенс угла можно также получить, разделив единицу на значение тангенса.
Единичная окружность
Единичная окружность в геометрии — окружность, радиус которой равен единице. Такая окружность строится в декартовой системе координат, при этом центр окружности совпадает с точкой начала координат, а начальное положение вектора радиуса определено по положительному направлению оси Х (оси абсцисс). Каждая точка окружности имеет две координаты: ХХ и YY, то есть координаты абсцисс и ординат. Выбрав на окружности любую точку в плоскости ХХ, и опустив с неё перпендикуляр на ось абсцисс, получаем прямоугольный треугольник, образованный радиусом до выбранной точки (обозначим её буквой С), перпендикуляром, проведённым до оси Х (точка пересечения обозначается буквой G), а отрезком оси абсцисс между началом координат (точка обозначена буквой А) и точкой пересечения G. Полученный треугольник АСG — прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, где AG — гипотенуза, а АС и GC — катеты. Угол между радиусом окружности АС и отрезком оси абсцисс с обозначением AG, определим как α (альфа). Так, cos α = AG/AC. Учитывая, что АС — это радиус единичной окружности, и он равен единице, получится, что cos α=AG. Аналогично, sin α=CG.
Кроме того, зная эти данные, можно определить координату точки С на окружности, так как cos α=AG, а sin α=CG, значит, точка С имеет заданные координаты (cos α;sin α). Зная, что тангенс равен отношению синуса к косинусу, можно определить, что tg α = y/х, а ctg α = х/y. Рассматривая углы в отрицательной системе координат, можно рассчитать, что значения синуса и косинуса некоторых углов могут быть отрицательными.
Вычисления и основные формулы
Значения тригонометрических функций
Рассмотрев сущность тригонометрических функций через единичную окружность, можно вывести значения этих функций для некоторых углов. Значения перечислены в таблице ниже.
Простейшие тригонометрические тождества
Уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции присутствует неизвестное значение, называются тригонометрическими. Тождества со значением sin х = α, k — любое целое число:
- sin х = 0, х = πk.
- 2. sin х = 1, х = π/2 + 2πk.
- sin х = -1, х = -π/2 + 2πk.
- sin х = а, |a| > 1, нет решений.
- sin х = а, |a| ≦ 1, х = (-1)^k * arcsin α + πk.
Тождества со значением cos х = а, где k — любое целое число:
- cos х = 0, х = π/2 + πk.
- cos х = 1, х = 2πk.
- cos х = -1, х = π + 2πk.
- cos х = а, |a| > 1, нет решений.
- cos х = а, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Тождества со значением tg х = а, где k — любое целое число:
- tg х = 0, х = π/2 + πk.
- tg х = а, х = arctg α + πk.
Тождества со значением ctg х = а, где k — любое целое число:
- ctg х = 0, х = π/2 + πk.
- ctg х = а, х = arcctg α + πk.
Формулы приведения
Эта категория постоянных формул обозначает методы, с помощью которых можно перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента, то есть привести синус, косинус, тангенс и котангенс угла любого значения к соответствующим показателям угла интервала от 0 до 90 градусов для большего удобства вычислений.
Формулы приведения функций для синуса угла выглядят таким образом:
- sin(900 — α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 — α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 — α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 — α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Для косинуса угла:
- cos(900 — α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 — α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 — α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 — α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Использование вышеуказанных формул возможно при соблюдении двух правил. Во-первых, если угол можно представить как значение (π/2 ± a) или (3π/2 ± a), значение функции меняется:
- с sin на cos;
- с cos на sin;
- с tg на ctg;
- с ctg на tg.
Значение функции остаётся неизменным, если угол может быть представлен как (π ± a) или (2π ± a).
Во-вторых, знак приведенной функции не изменяется: если он изначально был положительным, таким и остаётся. Аналогично с отрицательными функциями.
Формулы сложения
Эти формулы выражают величины синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов поворота через их тригонометрические функции. Обычно углы обозначаются как α и β.
Формулы имеют такой вид:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α * tg β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Эти формулы справедливы для любых величин углов α и β.
Формулы двойного и тройного угла
Тригонометрические формулы двойного и тройного угла — это формулы, которые связывают функции углов 2α и 3α соответственно, с тригонометрическими функциями угла α. Выводятся из формул сложения:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 — 2sin^2 α.
- tg2α = 2tgα / (1 — tg^2 α).
- sin3α = 3sinα — 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α — 3cosα.
- tg3α = (3tgα — tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Переход от суммы к произведению
Учитывая, что 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), упростив эту формулу, получаем тождество sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Аналогично sinα — sinβ = 2sin(α — β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα — tgβ = sin(α — β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Переход от произведения к сумме
Эти формулы следуют из тождеств перехода суммы в произведение:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Формулы понижения степени
В этих тождествах квадратную и кубическую степени синуса и косинуса можно выразить через синус и косинус первой степени кратного угла:
- sin^2 α = (1 — cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα — sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 — 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Универсальная подстановка
Формулы универсальной тригонометрической подстановки выражают тригонометрические функции через тангенс половинного угла.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tg^2 x/2), при этом х = π + 2πn;
- cos x = (1 — tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), где х = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 — tg^2 x/2), где х = π + 2πn;
- ctg x = (1 — tg^2 x/2) / (2tgx/2), при этом х = π + 2πn.
Частные случаи
Частные случаи простейших тригонометрических уравнений приведены ниже (k — любое целое число).
Частные для синуса:
| Значение sin x | Значение x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk или 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk или -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk или 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk или -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk или 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk или -2π/3 + 2πk |
Частные для косинуса:
| Значение cos x | Значение х |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Частные для тангенса:
| Значение tg x | Значение х |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Частные для котангенса:
| Значение ctg x | Значение x |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Теоремы
Теорема синусов
Существует два варианта теоремы — простой и расширенный. Простая теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. При этом, a, b, c — стороны треугольника, и α, β, γ — соответственно, противолежащие углы.
Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. В этом тождестве R обозначает радиус круга, в который вписан заданный треугольник.
Теорема косинусов
Тождество отображается таким образом: a^2 = b^2 + c^2 — 2*b*c*cos α. В формуле a, b, c — стороны треугольника, и α — угол, противолежащий стороне а.
Теорема тангенсов
Формула выражает связь между тангенсами двух углов, и длиной сторон, им противолежащих. Стороны обозначены как a, b, c, а соответствующие противолежащие углы — α, β, γ. Формула теоремы тангенсов: (a — b) / (a+b) = tg((α — β)/2) / tg((α + β)/2).
Теорема котангенсов
Связывает радиус вписанной в треугольник окружности с длиной его сторон. Если a, b, c — стороны треугольника, и А, В, С, соответственно, противолежащие им углы, r — радиус вписанной окружности, и p — полупериметр треугольника, справедливы такие тождества:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Прикладное применение
Тригонометрия — не только теоретическая наука, связанная с математическими формулами. Её свойствами, теоремами и правилами пользуются на практике разные отрасли человеческой деятельности — астрономия, воздушная и морская навигация, теория музыки, геодезия, химия, акустика, оптика, электроника, архитектура, экономика, машиностроение, измерительные работы, компьютерная графика, картография, океанография, и многие другие.
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные понятия тригонометрии, с помощью которых математически можно выразить соотношения между углами и длинами сторон в треугольнике, и найти искомые величины через тождества, теоремы и правила.
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла поможет понять прямоугольный треугольник.
Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \(AC \) ); катеты – это две оставшиеся стороны \(AB \) и \(BC \) (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла \(BC \) , то катет \(AB \) – это прилежащий катет, а катет \(BC \) - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?
Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.
В нашем треугольнике:
\[ \sin \beta =\dfrac{BC}{AC} \]
Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.
В нашем треугольнике:
\[ \cos \beta =\dfrac{AB}{AC} \]
Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).
В нашем треугольнике:
\[ tg\beta =\dfrac{BC}{AB} \]
Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
В нашем треугольнике:
\[ ctg\beta =\dfrac{AB}{BC} \]
Эти определения необходимо запомнить ! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе . А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:
Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;
Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.
В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:
Рассмотрим, к примеру, косинус угла \(\beta \) . По определению, из треугольника \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} \) , но ведь мы можем вычислить косинус угла \(\beta \) и из треугольника \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3} \) . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.
Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!
Для треугольника \(ABC \) , изображённого ниже на рисунке, найдём \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \) .
\(\begin{array}{l}\sin \ \alpha =\dfrac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\dfrac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\dfrac{3}{4}=0,75\end{array} \)
Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \(\beta \) .
Ответы: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac{4}{3} \) .
Единичная (тригонометрическая) окружность
Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным \(1 \) . Такая окружность называется единичной . Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.
Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси \(x \) (в нашем примере, это радиус \(AB \) ).
Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси \(x \) и координата по оси \(y \) . А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник \(ACG \) . Он прямоугольный, так как \(CG \) является перпендикуляром к оси \(x \) .
Чему равен \(\cos \ \alpha \) из треугольника \(ACG \) ? Всё верно \(\cos \ \alpha =\dfrac{AG}{AC} \) . Кроме того, нам ведь известно, что \(AC \) – это радиус единичной окружности, а значит, \(AC=1 \) . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:
\(\cos \ \alpha =\dfrac{AG}{AC}=\dfrac{AG}{1}=AG \) .
А чему равен \(\sin \ \alpha \) из треугольника \(ACG \) ? Ну конечно, \(\sin \alpha =\dfrac{CG}{AC} \) ! Подставим значение радиуса \(AC \) в эту формулу и получим:
\(\sin \alpha =\dfrac{CG}{AC}=\dfrac{CG}{1}=CG \)
Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка \(C \) , принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что \(\cos \ \alpha \) и \(\sin \alpha \) - это просто числа? Какой координате соответствует \(\cos \alpha \) ? Ну, конечно, координате \(x \) ! А какой координате соответствует \(\sin \alpha \) ? Всё верно, координате \(y \) ! Таким образом, точка \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \) .
А чему тогда равны \(tg \alpha \) и \(ctg \alpha \) ? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что \(tg \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{y}{x} \) , а \(ctg \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\dfrac{x}{y} \) .
А что, если угол будет больше ? Вот, к примеру, как на этом рисунке:
Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник \({{A}_{1}}{{C}_{1}}G \) : угол (как прилежащий к углу \(\beta \) ). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла \({{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \ \) ? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:
\(\begin{array}{l}\sin \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{{{C}_{1}}G}{1}={{C}_{1}}G=y;\\\cos \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{A}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{{{A}_{1}}G}{1}={{A}_{1}}G=x;\\tg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}G}=\dfrac{y}{x};\\ctg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{A}_{1}}G}{{{C}_{1}}G}=\dfrac{x}{y}\end{array} \)
Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате \(y \) ; значение косинуса угла – координате \(x \) ; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.
Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси \(x \) . До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы , а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.
Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет \(360{}^\circ \) или \(2\pi \) . А можно повернуть радиус-вектор на \(390{}^\circ \) или на \(-1140{}^\circ \) ? Ну конечно, можно! В первом случае, \(390{}^\circ =360{}^\circ +30{}^\circ \) , таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении \(30{}^\circ \) или \(\dfrac{\pi }{6} \) .
Во втором случае, \(-1140{}^\circ =-360{}^\circ \cdot 3-60{}^\circ \) , то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении \(-60{}^\circ \) или \(-\dfrac{\pi }{3} \) .
Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на \(360{}^\circ \cdot m \) или \(2\pi \cdot m \) (где \(m \) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.
Ниже на рисунке изображён угол \(\beta =-60{}^\circ \) . Это же изображение соответствует углу \(-420{}^\circ ,-780{}^\circ ,\ 300{}^\circ ,660{}^\circ \) и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой \(\beta +360{}^\circ \cdot m \) или \(\beta +2\pi \cdot m \) (где \(m \) – любое целое число)
\(\begin{array}{l}-420{}^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780{}^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300{}^\circ =-60+360\cdot 1;\\660{}^\circ =-60+360\cdot 2.\end{array} \)
Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:
\(\begin{array}{l}\sin \ 90{}^\circ =?\\\cos \ 90{}^\circ =?\\\text{tg}\ 90{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 90{}^\circ =?\\\sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =?\\\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =?\\\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =?\\\sin \ 270{}^\circ =?\\\cos \ 270{}^\circ =?\\\text{tg}\ 270{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 270{}^\circ =?\\\sin \ 360{}^\circ =?\\\cos \ 360{}^\circ =?\\\text{tg}\ 360{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 360{}^\circ =?\\\sin \ 450{}^\circ =?\\\cos \ 450{}^\circ =?\\\text{tg}\ 450{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 450{}^\circ =?\end{array} \)
Вот тебе в помощь единичная окружность:
Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:
\(\begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac{y}{x};\\ctg\alpha =\dfrac{x}{y}.\end{array} \)
Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в \(90{}^\circ =\dfrac{\pi }{2} \) соответствует точка с координатами \(\left(0;1 \right) \) , следовательно:
\(\sin 90{}^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90{}^\circ =x=0 \) ;
\(\text{tg}\ 90{}^\circ =\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 90{}^\circ \) - не существует;
\(\text{ctg}\ 90{}^\circ =\dfrac{x}{y}=\dfrac{0}{1}=0 \) .
Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в \(180{}^\circ ,\ 270{}^\circ ,\ 360{}^\circ ,\ 450{}^\circ (=360{}^\circ +90{}^\circ)\ \) соответствуют точки с координатами \(\left(-1;0 \right),\text{ }\left(0;-1 \right),\text{ }\left(1;0 \right),\text{ }\left(0;1 \right) \) , соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.
Ответы:
\(\displaystyle \sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =\dfrac{0}{-1}=0 \)
\(\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =\dfrac{-1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ \pi \) - не существует
\(\sin \ 270{}^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270{}^\circ =0 \)
\(\text{tg}\ 270{}^\circ =\dfrac{-1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 270{}^\circ \) - не существует
\(\text{ctg}\ 270{}^\circ =\dfrac{0}{-1}=0 \)
\(\sin \ 360{}^\circ =0 \)
\(\cos \ 360{}^\circ =1 \)
\(\text{tg}\ 360{}^\circ =\dfrac{0}{1}=0 \)
\(\text{ctg}\ 360{}^\circ =\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ 2\pi \) - не существует
\(\sin \ 450{}^\circ =\sin \ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\sin \ 90{}^\circ =1 \)
\(\cos \ 450{}^\circ =\cos \ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\cos \ 90{}^\circ =0 \)
\(\text{tg}\ 450{}^\circ =\text{tg}\ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{tg}\ 90{}^\circ =\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 450{}^\circ \) - не существует
\(\text{ctg}\ 450{}^\circ =\text{ctg}\left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{ctg}\ 90{}^\circ =\dfrac{0}{1}=0 \) .
Таким образом, мы можем составить следующую табличку:
Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:
\(\left. \begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac{y}{x};\\ctg \alpha =\dfrac{x}{y}.\end{array} \right\}\ \text{Надо запомнить или уметь выводить!!!} \)
А вот значения тригонометрических функций углов в и \(30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4} \) , приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:
Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:
Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла (\(30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4},\ 60{}^\circ =\dfrac{\pi }{3} \) ), а также значение тангенса угла в \(30{}^\circ \) . Зная эти \(4 \) значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:
\(\begin{array}{l}\sin 30{}^\circ =\cos \ 60{}^\circ =\dfrac{1}{2}\ \ \\\sin 45{}^\circ =\cos \ 45{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\sin 60{}^\circ =\cos \ 30{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \end{array} \)
\(\text{tg}\ 30{}^\circ \ =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \) , зная это можно восстановить значения для \(\text{tg}\ 45{}^\circ , \text{tg}\ 60{}^\circ \) . Числитель «\(1 \) » будет соответствовать \(\text{tg}\ 45{}^\circ \ \) , а знаменатель «\(\sqrt{\text{3}} \) » соответствует \(\text{tg}\ 60{}^\circ \ \) . Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего \(4 \) значения из таблицы.
Координаты точки на окружности
А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:
Нам дано, что точка \(K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2) \) - центр окружности. Радиус окружности равен \(1,5 \) . Необходимо найти координаты точки \(P \) , полученной поворотом точки \(O \) на \(\delta \) градусов.
Как видно из рисунка, координате \(x \) точки \(P \) соответствует длина отрезка \(TP=UQ=UK+KQ \) . Длина отрезка \(UK \) соответствует координате \(x \) центра окружности, то есть равна \(3 \) . Длину отрезка \(KQ \) можно выразить, используя определение косинуса:
\(\cos \ \delta =\dfrac{KQ}{KP}=\dfrac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \) .
Тогда имеем, что для точки \(P \) координата \(x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \) .
По той же логике находим значение координаты y для точки \(P \) . Таким образом,
\(y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \) .
Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:
\(\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array} \) , где
\({{x}_{0}},{{y}_{0}} \) - координаты центра окружности,
\(r \) - радиус окружности,
\(\delta \) - угол поворота радиуса вектора.
Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:
\(\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end{array} \)
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
