Что такое материальная точка в физике определение. Материальная точка

Понятие материальной точки. Траектория. Путь и перемещение. Система отсчета. Скорость и ускорение при криволинейном движении. Нормальное и тангенциальное ускорения. Классификация механических движений.

Предмет механики . Механикой называют раздел физики, посвященный изучению закономерностей простейшей формы движения материи - механического движения.

Механика состоит из трех подразделов: кинематики, динамики и статики.

Кинематика изучает движение тел без учета причин, его вызывающих. Она оперирует такими величинами как перемещение, пройденный путь, время, скорость движения и ускорение.

Динамика исследует законы и причины, вызывающие движение тел, т.е. изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. К кинематическим величинам добавляются величины - сила и масса.

В статике исследуют условия равновесия системы тел.

Механи́ческим движе́нием теланазывается изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Материальная точка - тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данных условиях движения, считая массу тела сосредоточенной в данной точке. Модель материальной точки – простейшая модель движения тела в физике. Тело можно считать материальной точкой, когда его размеры много меньше характерных расстояний в задаче.

Для описания механического движения необходимо указать тело, относительно которого рассматривается движение. Произвольно выбранное неподвижное тело, по отношению к которому рассматривается движение данного тела, называется телом отсчета .

Система отсчета - тело отсчета вместе со связанными с ним системой координат и часами.

Рассмотрим движение материальной точки М в прямоугольной системе координат, поместив начало координат в точку О.

Положение точки М относительно системы отсчета можно задать не только с помощью трех декартовых координат , но также с помощью одной векторной величины - радиуса-вектора точки М, проведенного в эту точку из начала системы координат (рис. 1.1). Если - единичные вектора (орты) осей прямоугольной декартовой системы координат, то

либо зависимость от времени радиус-вектора этой точки

Три скалярных уравнения (1.2) или эквивалентное им одно векторное уравнение (1.3) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки .

Траекторией материальной точки называется линия, описываемая пространстве этой точкой при ее движении (геометрическое место концов радиуса-вектора частицы). В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения точки. Если все участки траектории точки лежат в одной плоскости, то движение точки называют плоским.

Уравнения (1.2) и (1.3) задают траекторию точки в так называемой параметрической форме. Роль параметра играет время t. Решая эти уравнения совместно и исключая из них время t, найдем уравнение траектории.

Длиной пути материальной точки называют сумму длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени.

Вектором перемещения материальной точки называется вектор, соединяющий начальное и конечное положение материальной точки, т.е. приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории. Из того, что перемещение является вектором, следует подтверждающийся на опыте закон независимости движений: если материальная точка участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме ее перемещений, совершаемых ею за тоже время в каждом из движений порознь

Для характеристики движения материальной точки вводят векторную физическую величину - скорость , величину, определяющую как быстроту движения, так и направление движения в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории МN так, что в момент времени t она находится в т.М, а в момент времени в т. N. Радиус-векторы точек М и N соответственно равны , а длина дуги МN равна (рис. 1.3).

Вектором средней скорости точки в интервале времени от t до t +Δt называют отношение приращения радиуса-вектора точки за этот промежуток времени к его величине :

Вектор средней скорости направлен также, как вектор перемещения т.е. вдоль хорды МN.

Мгновенная скорость или скорость в данный момент времени . Если в выражении (1.5) перейти к пределу, устремляя к нулю, то мы получим выражение для вектора скорости м.т. в момент времени t прохождения ее через т.М траектории.

В процессе уменьшения величины точка N приближается к т.М, и хорда МN, поворачиваясь вокруг т.М, в пределе совпадает по направлению с касательной к траектории в точке М. Поэтому вектор и скорость v движущейся точки направлены по касательной траектории в сторону движения. Вектор скорости v материальной точки можно разложить на три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат.

Из сопоставления выражений (1.7) и (1.8) следует, что проекции скорости материальной точки на оси прямоугольной декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки:

Движение, при котором направление скорости материальной точки не изменяется, называется прямолинейным. Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения неизменным, то такое движение называется равномерным.

Если же за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее мгновенной скорости с течением времени изменяется. Такое движение называют неравномерным.

В этом случае часто пользуются скалярной величиной , называемой средней путевой скоростью неравномерного движения на данном участке траектории. Она равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути затрачивается то же время , что и при заданном неравномерном движении:

Т.к. только в случае прямолинейного движения с неизменной по направлению скоростью, то в общем случае:

Величину пройденного точкой пути можно представить графически пло­щадью фигуры ограниченной кривой v = f (t ), прямыми t = t 1 и t = t 1 и осью времени на графике скорости.

Закон сложения скоростей . Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещения в соответствии с законом независимости движения, равно векторной (геометрической) сумме элементарных перемещений, обусловленных каждым из этих движений в отдельности:

В соответствии с определением (1.6):

Таким образом, скорость результирующего движения равна геометрической сумме скоростей всех движений, в которых участвует материальная точка, (это положение носит название закона сложения скоростей).

При движении точки мгновенная скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Ускорение характеризует быстроту изменения модуля и направления вектора скорости, т.е. изменение величины вектора скорости за единицу времени.

Вектор среднего ускорения . Отношение приращения скорости к промежутку времени , в течение которого произошло это приращение, выражает среднее ускорение:

Вектор, среднего ускорения совпадает по направлению с вектором .

Ускорение, или мгновенное ускорение равно пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю:

В проекциях на соответствующие координаты оси:

При прямолинейном движении векторы скорости и ускорения совпадают с направлением траектории. Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории. Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Допустим, что в т.М траектории скорость была , а в т.М 1 стала . При этом считаем, что промежуток времени при переходе точки на пути из М в М 1 настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь. Для того, чтобы найти вектор изменения скорости , необходимо определить векторную разность:

Для этого перенесем параллельно самому себе, совмещая его начало с точкой М. Разность двух векторов равна вектору, соединяющему их концы равна стороне АС МАС, построенного на векторах скоростей, как на сторонах. Разложим вектор на две составляющих АВ и АД, и обе соответственно через и . Таким образом вектор изменения скорости равен векторной сумме двух векторов:

Таким образом, ускорение материальной точки можно представить как векторную сумму нормального и тангенциального ускорений этой точки

По определению:

где - путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент. Вектор тангенциального ускорения направлен по касательной к траектории движения тела.

Основываясь на возможности локализации физических предметов во времени и пространстве, в классической механике исследование законов перемещения начинается с самого простого случая. Этим случаем является движение материальной точки. Схематической идеей аналитическая механика формирует предпосылки для изложения

Материальная точка - это объект, обладающий бесконечно малым размером и конечной массой. Данная идея полностью отвечает представлениям о дискретности материи. Ранее физики пытались определить ее в качестве совокупности элементарных частиц, находящихся в состоянии перемещения. В связи с этим материальная точка в своей динамике стала как раз тем необходимым для теоретических построений инструментом.

Динамика рассматриваемого объекта исходит из инерциального принципа. Согласно ему, материальная точка, не находящаяся под влиянием внешних сил, сохраняет свое состояние покоя (либо перемещения) с течением времени. Данное положение выполняется достаточно строго.

В соответствии с принципом инерции, материальная точка (свободная) перемещается равномерно и прямолинейно. Рассматривая частный случай, в рамках которого скорость равна нулю, можно сказать, что объект сохраняет состояние покоя. В связи с этим можно предположить, что влияние определенной силы на рассматриваемый предмет сводится просто к изменению его скорости. Самой простой гипотезой является предположение, что изменение скорости, которой обладает материальная точка, прямо пропорционально показателю силы, воздействующей на нее. При этом коэффициент пропорциональности уменьшается с увеличением инерции.

Естественной является характеристика материальной точки с помощью величины коэффициента инерции - массы. В этом случае главный закон динамики объекта может формулироваться так: сообщаемое ускорение в каждый момент времени равно отношению силы, которая действует на объект, к ее массе. Изложение кинематики, таким образом, предшествует изложению динамики. Масса, которая в динамике характеризует материальную точку, вводится a posteriori (из опыта), в то время как наличие траектории, положения, ускорения, скорости допускается a priori.

В связи с этим уравнения динамики объекта утверждают, что произведение массы рассматриваемого объекта на какую-либо из компонент ее ускорения равно соответствующей компоненте силы, действующей на объект. Предположив, что сила является известной функцией времени и координат, определение координат для материальной точки в соответствии со временем производят посредством трех обычных второго порядка по времени.

В соответствии с хорошо известной теоремой из курса решение указанной системы уравнений однозначно определяется заданием координат, а также их первых производных в какой-либо начальный временной промежуток. Другими словами, при известном положении материальной точки и ее скорости в определенный момент можно точно определить характер ее перемещения во все будущие периоды.

В результате становится ясно, что классическая динамика рассматриваемого объекта находится в абсолютном соответствии с принципом физического детерминизма. Согласно ему, предстоящее состояние (положение) материального мира может быть предсказано полностью при наличии параметров, определяющих его положение в определенный предыдущий момент.

В связи с тем, что размер материальной точки бесконечно мал, ее траектория будет представлять собой линию, занимающую в только одномерный континуум. В каждом участке траектории имеет место определенное значение силы, задающее перемещение в следующий бесконечно малый отрезок времени.

В окружающем нас мире всё находится в непрерывном движении. Под движением в общем смысле этого слова подразумевают любые изменения, происходящие в природе. Наиболее простым видом движения является механическое движение.

Из курса физики 7 класса вы знаете, что механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел, происходящее с течением времени.

При решении различных научных и практических задач, связанных с механическим движением тел, нужно уметь описывать это движение, т. е. определять траекторию, скорость, пройденный путь, положение тела и некоторые другие характеристики движения для любого момента времени.

Например, запуская летательный аппарат с Земли на другую планету, учёные должны предварительно рассчитать, где находится эта планета относительно Земли в момент посадки на неё аппарата. А для этого необходимо выяснить, как меняются с течением времени направление и модуль скорости этой планеты и по какой траектории она движется.

Из курса математики вы знаете, что положение точки можно задать с помощью координатной прямой или прямоугольной системы координат (рис. 1). Но как задать положение тела, имеющего размеры? Ведь каждая точка этого тела будет иметь свою собственную координату.

Рис. 1. Положение точки можно задать с помощью координатной прямой или прямоугольной системы координат

При описании движения тела, имеющего размеры, возникают и другие вопросы. Например, что следует понимать под скоростью тела, если оно, перемещаясь в пространстве, одновременно вращается вокруг собственной оси? Ведь скорость разных точек этого тела будет различна как по модулю, так и по направлению. Например, при суточном вращении Земли диаметрально противоположные её точки движутся в противоположных направлениях, причём чем ближе к оси расположена точка, тем меньше её скорость.

Каким же образом можно задать координату, скорость и другие характеристики движения тела, имеющего размеры? Оказывается, во многих случаях вместо движения реального тела можно рассматривать движение так называемой материальной точки, т. е. точки, обладающей массой этого тела.

Для материальной точки можно однозначно определить координату, скорость и другие физические величины, так как она не имеет размеров и не может вращаться вокруг собственной оси.

Материальных точек нет в природе. Материальная точка - это понятие, использование которого упрощает решение многих задач и при этом позволяет получить достаточно точные результаты.

• Материальная точка - это понятие, вводимое в механике для обозначения тела, которое рассматривается как точка, имеющая массу

Практически всякое тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела, очень велики по сравнению с его размерами.

Например, материальными точками считают Землю и другие планеты при изучении их движения вокруг Солнца. В данном случае различия в движении разных точек любой планеты, вызванные её суточным вращением, не влияют на величины, описывающие годовое движение.

Материальными точками считают планеты при изучении их движения вокруг Солнца

Но при решении задач, связанных с суточным вращением планет (например, при определении времени восхода солнца в разных местах поверхности земного шара), считать планету материальной точкой бессмысленно, так как результат задачи зависит от размеров этой планеты и скорости движения точек её поверхности. Так, например, во Владимирской часовой зоне солнце взойдёт на 1 ч позже, в Иркутской - на 2 ч позже, а в Московской - на 8 ч позже, чем в Магаданской.

За материальную точку правомерно принять самолёт, если требуется, например, определить среднюю скорость его движения на пути из Москвы в Новосибирск. Но при вычислении силы сопротивления воздуха, действующей на летящий самолёт, считать его материальной точкой нельзя, поскольку сила сопротивления зависит от формы и скорости движения самолёта.

За материальную точку можно принять самолёт, летящий из одного города в другой

Тело, движущееся поступательно 1 , можно принимать за материальную точку даже в том случае, если его размеры соизмеримы с проходимыми им расстояниями. Например, поступательно движется человек, стоящий на ступеньке движущегося эскалатора (рис. 2, а). В любой момент времени все точки тела человека движутся одинаково. Поэтому если мы хотим описать движение человека (т.е. определить, как меняется со временем его скорость, путь и т. д.), то достаточно рассмотреть движение только одной его точки. При этом решение задачи значительно упрощается.

При прямолинейном движении тела достаточно одной координатной оси для определения его положения.

Например, положение тележки с капельницей (рис. 2, б), движущейся по столу прямолинейно и поступательно, в любой момент времени можно определить с помощью линейки, расположенной вдоль траектории движения (тележка с капельницей принимается за материальную точку). Линейку в этом опыте удобно принять за тело отсчёта, а её шкала может служить координатной осью. (Напомним, что телом отсчёта называется тело, относительно которого рассматривается изменение положения других тел в пространстве.) Положение тележки с капельницей будет определяться относительно нулевого деления линейки.

Рис. 2. При поступательном движении тела все его точки движутся одинаково

Но если необходимо определить, например, путь, который прошла тележка за определённый промежуток времени, или скорость её движения, то помимо линейки понадобится прибор для измерения времени - часы.

В данном случае роль такого прибора выполняет капельница, из которой через равные промежутки времени падают капли. Поворачивая кран, можно добиться того, чтобы капли падали с интервалом, например, в 1 с. Посчитав число промежутков между следами капель на линейке, можно определить соответствующий промежуток времени.

Из приведённых примеров ясно, что для определения положения движущегося тела в любой момент времени, вида движения, скорости тела и некоторых других характеристик движения необходимы тело отсчёта, связанная с ним система координат (или одна координатная ось, если тело движется вдоль прямой) и прибор для измерения времени.

• Система координат, тело отсчёта, с которым она связана, и прибор для измерения времени образуют систему отсчёта, относительно которой рассматривается движение тела

Конечно, во многих случаях нельзя непосредственно измерить координаты движущегося тела в любой момент времени. У нас нет реальной возможности, например, расположить измерительную ленту и расставить наблюдателей с часами вдоль многокилометрового пути движущегося автомобиля, плывущего по океану лайнера, летящего самолёта, снаряда, вылетевшего из артиллерийского орудия,различных небесных тел, движение которых мы наблюдаем, и т. д.

Тем не менее знание законов физики позволяет определить координаты тел, движущихся в различных системах отсчёта, в частности в системе отсчёта, связанной с Землёй.

Вопросы

1. Что называется материальной точкой?
2. С какой целью используется понятие «материальная точка»?
3. В каких случаях движущееся тело обычно рассматривают как материальную точку?
4. Приведите пример, показывающий, что одно и то же тело в одной ситуации можно считать материальной точкой, а в другой - нет.
5. В каком случае положение движущегося тела можно задать с помощью одной координатной оси?
6. Что такое система отсчёта?

Упражнение 1

1. Можно ли считать автомобиль материальной точкой при определении пути, который он прошёл за 2 ч, двигаясь со средней скоростью, равной 80 км/ч; при обгоне им другого автомобиля?
2. Самолёт совершает перелёт из Москвы во Владивосток. Может ли рассматривать самолёт как материальную точку диспетчер, наблюдающий за его движением; пассажир этого самолёта?
3. Когда говорят о скорости машины, поезда и других транспортных средств, тело отсчёта обычно не указывают. Что подразумевают в этом случае под телом отсчёта?
4. Мальчик стоял на земле и наблюдал, как его младшая сестра каталась на карусели. После катания девочка сказала брату, что и он сам, и дома, и деревья быстро проносились мимо неё. Мальчик же стал утверждать, что он вместе с домами и деревьями был неподвижен, а двигалась сестра. Относительно каких тел отсчёта рассматривали движение девочка и мальчик? Объясните, кто прав в споре.
5. Относительно какого тела отсчёта рассматривают движение, когда говорят: а) скорость ветра равна 5 м/с; б) бревно плывёт по течению реки, поэтому его скорость равна нулю; в) скорость плывущего по реке дерева равна скорости течения воды в реке; г) любая точка колеса движущегося велосипеда описывает окружность; д) солнце утром восходит на востоке, в течение дня движется по небу, а вечером заходит на западе?

1 Поступательное движение - движение тела, при котором прямая, соединяющая любые две точки этого тела, перемещается, оставаясь всё время параллельной своему первоначальному направлению. Поступательным может быть как прямолинейное, так и криволинейное движение. Например, поступательно движется кабина колеса обозрения.

МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА – модельное понятие (абстракция) классической механики, обозначающее тело исчезающе малых размеров, но обладающее некоторой массой .

С одной стороны, материальная точка – простейший объект механики, так как его положение в пространстве определяется всего тремя числами. Например, тремя декартовыми координатами той точки пространства, в которой находится наша материальная точка.

С другой стороны, материальная точка – основной опорный объект механики, так как именно для нее сформулированы основные законы механики. Все другие объекты механики – материальные тела и среды – могут быть представлены в виде той или иной совокупности материальных точек. Например, любое тело можно «разрезать» на малые части и каждую из них принять в качестве материальной точки с соответствующей массой.

Когда можно «заменить» реальное тело материальной точкой при постановке задачи о движении тела, зависит от тех вопросов, на которые должно ответить решение формулируемой задачи.

Возможны различные подходы к вопросу об использовании модели материальной точки.

Один из них носит эмпирический характер. Считают, что модель материальной точки применима тогда, когда размеры движущихся тел пренебрежимо малы по сравнению с величиной относительных перемещений этих тел. В качестве иллюстрации можно привести Солнечную систему. Если считать, что Солнце – неподвижная материальная точка и считать оно действует на другую материальную точку-планету по закону всемирного тяготения, то задача о движении точки-планеты имеет известное решение. Среди возможных траекторий движения точки есть и такие, на которых выполняются законы Кеплера, эмпирически установленные для планет солнечной системы.

Таким образом, при описании орбитальных движений планет модель материальной точки вполне удовлетворительна. (Однако, построение математической модели таких явлений как солнечные и лунные затмения требует учета реальных размеров Солнца, Земли и Луны, хотя эти явления, очевидно, связаны с орбитальными движениями.)

Отношение диаметра Солнца к диаметру орбиты ближайшей планеты – Меркурию – составляет величину ~ 1·10 –2 , а отношения диаметров ближних к Солнцу планет к диаметрам их орбит – величины ~ 1 ÷ 2·10 –4 . Могут ли эти числа служить формальным критерием для пренебрежения размерами тела в других задачах и, следовательно, для приемлемости модели материальной точки? Практика показывает, что нет.

Например, маленькая пуля размером l = 1 ÷ 2 см пролетает расстояние L = 1 ÷ 2 км, т.е. отношение , однако траектория полета (да и дальность) существенно зависит не только от массы пули, но и от ее формы, и от того, вращается ли она. Поэтому даже маленькую пулю, строго говоря, нельзя считать материальной точкой. Если в задачах внешней баллистики метаемое тело часто считают материальной точкой, то это сопровождается оговорками ряда дополнительных условий, как правило, эмпирически учитывающих реальные характеристики тела.

Если обратиться к космонавтике, то когда космический аппарат (КА) выведен на рабочую орбиту, при дальнейших расчетах траектории его полета он считается материальной точкой, так как никакие изменения формы КА не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на траекторию. Лишь иногда, при коррекциях траектории возникает необходимость обеспечения точной ориентации реактивных двигателей в пространстве.

Когда же спускаемый отсек приблизится к поверхности Земли на расстояние ~100 км, он сразу «превращается» в тело, поскольку от того, каким «боком» он входит в плотные слои атмосферы, зависит, доставит ли отсек в нужную точку Земли космонавтов и возвращаемые материалы.

Модель материальной точки оказалась практически неприемлемой для описания движений таких физических объектов микромира, как элементарные частицы, атомные ядра, электрон и т.п.

Другой подход к вопросу об использовании модели материальной точки носит рациональный характер. По закону изменения количества движения системы, примененному к отдельному телу, центр масс С тела имеет такое же ускорение, как и некоторая (назовем ее эквивалентной) материальная точка, на которую действуют те же силы, что и на тело, т.е.

Вообще говоря, результирующая сила может быть представлена в виде суммы , где зависит только от и (радиус-вектор и скорость точки С), а – и от угловой скорости тела и его ориентации.

Если F 2 = 0, то приведенное выше соотношение превращается в уравнение движения эквивалентной материальной точки.

В этом случае говорят, что движение центра масс тела не зависит от вращательного движения тела. Таким образом, возможность использования модели материальной точки получает математическое строгое (а не только эмпирическое) обоснование.

Естественно, что на практике условие F 2 = 0 выполняется редко и обычно F 2 № 0, однако может оказаться, что F 2 в каком-то смысле мало по сравнению с F 1 . Тогда можно говорить, что модель эквивалентной материальной точки является некоторым приближением при описании движения тела. Оценка точности такого приближения может быть получена математически и если эта оценка окажется приемлемой для «потребителя», то замена тела на эквивалентную материальную точку допустима, в противном случае такая замена приведет к значительным ошибкам.

Это может иметь место и тогда, когда тело движется поступательно и с точки зрения кинематики его можно «заменить» на некоторую эквивалентную точку.

Естественно, что модель материальной точки не пригодна для ответа на такие вопросы, как «почему Луна обращена к Земле лишь одной своей стороной?» Подобные явления связаны с вращательным движением тела.

Виталий Самсонов